Question

W^3 + z=0 где Z=\frac{2\sqrt{2} }{1-i} найти все корни уравнения

Answer 1

Вот решение, смотри приложения.

Answer 2

Для нахождения всех корней уравнения W^3 + Z = 0, нам нужно выразить W через Z и затем найти его корни. Для начала, выразим Z:

Z = \frac{2\sqrt{2}}{1-i}

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное значение знаменателя (чтобы устранить мнимую часть в знаменателе):

Z = \frac{2\sqrt{2}}{1-i} * \frac{1+i}{1+i} Z = \frac{2\sqrt{2}(1+i)}{(1-i)(1+i)} Z = \frac{2\sqrt{2}(1+i)}{1 + i - i - i^2} Z = \frac{2\sqrt{2}(1+i)}{2} Z = \sqrt{2}(1+i)

Теперь подставим выражение для Z в исходное уравнение:

W^3 + \sqrt{2}(1+i) = 0

Теперь, чтобы найти корни уравнения, мы должны найти кубические корни из комплексного числа -\sqrt{2}(1+i). Для этого воспользуемся тригонометрической формой комплексных чисел (формула Муавра).

Представим число -\sqrt{2}(1+i) в тригонометрической форме:

-\sqrt{2}(1+i) = \sqrt{2} * (-\sqrt{2}/2 - i\sqrt{2}/2) -\sqrt{2}(1+i) = -\sqrt{2} * (\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))

Теперь найдем кубические корни из этого числа, используя формулу Муавра для кубических корней:

Пусть r = \sqrt{2} и \theta = \frac{3\pi}{4}

Тогда, кубические корни будут:

1. Корень 1: r^(1/3) * (\cos(\theta/3) + i\sin(\theta/3))
2. Корень 2: r^(1/3) * (\cos((\theta + 2\pi)/3) + i\sin((\theta + 2\pi)/3))
3. Корень 3: r^(1/3) * (\cos((\theta + 4\pi)/3) + i\sin((\theta + 4\pi)/3))

Подставим значения r и \theta:

1. Корень 1: \sqrt{2}^(1/3) * (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))
2. Корень 2: \sqrt{2}^(1/3) * (\cos(\frac{11\pi}{12}) + i\sin(\frac{11\pi}{12}))
3. Корень 3: \sqrt{2}^(1/3) * (\cos(\frac{7\pi}{12}) + i\sin(\frac{7\pi}{12}))

Теперь у нас есть все три кубических корня из уравнения W^3 + Z = 0.