Question

Основание пирамиды совпадает с одной из граней куба, а вершина – с центром противоположной грани. Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.

Answer 1

Из задания выходит, что задана правильная четырёхугольная пирамида SАВСД,  высота SO которой равна ребру "a". Точка О - центр основания (точка пересечения его диагоналей).

Пусть длина ребра основания а = 1, диагональ основания d = √2.

Для определения угла между смежными боковыми гранями проведём сечение через диагональ ВД основания перпендикулярно боковому ребру .  Получим равнобедренный треугольник ВКД, угол К которого равен углу между боковыми гранями.

Высоту из вершины К этого треугольника найдём как высоту h из вершины прямого угла в треугольнике SOД. Для этого найдём длину бокового ребра SД:

SД = √(1² + (√2/2)²) = √(1 + (2/4)) = √(3/2).

h = (1*(√2/2)/√(3/2) = 1/√3.

Теперь можно получить ответ:

угол ВКД = 2arc tg((d/2)/h) = 2arc tg((√2/2)/(1/√3)) = 2arc tg√(3/2) =

                 = 2*50,76848 = 101,537 градуса.

Answer 2

Для нахождения угла между соседними боковыми гранями пирамиды, которая имеет основание, совпадающее с одной из граней куба, а вершину в центре противоположной грани, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами.

Пусть "A" и "B" - соседние вершины, а "O" - вершина пирамиды (центр противоположной грани куба).

1. Опустим перпендикуляры из точек "A" и "B" на плоскость, содержащую основание пирамиды (грань куба). Обозначим точки пересечения перпендикуляров с этой плоскостью как "A'" и "B'" соответственно.

2. Треугольник "AOA'" и треугольник "BOB'" являются прямоугольными треугольниками, так как "OA" и "OB" - радиусы основания пирамиды (стороны куба), а "A'A" и "B'B" - перпендикуляры к плоскости основания.

3. Так как центр противоположной грани (вершина пирамиды) "O" делит сторону куба пополам, то "A'A" и "B'B" также будут равными и равны половине стороны куба.

4. Поскольку пирамида симметрична относительно оси, проходящей через ее вершину и центр основания, то угол "AOA'" будет равен углу "BOB'".

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник "AOA'":

• Отрезок "AA'" (половина стороны куба) обозначим как "a".
• Отрезок "AO" (высота пирамиды) обозначим как "h".

Мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника "AOA'":

a^2 + h^2 = (2a)^2 a^2 + h^2 = 4a^2 h^2 = 4a^2 - a^2 h^2 = 3a^2 h = a * √3

Теперь, чтобы найти угол между соседними боковыми гранями пирамиды, рассмотрим прямоугольный треугольник "AOB":

• Отрезок "AO" (высота пирамиды) равен "h", т.е., h = a * √3.
• Отрезок "AB" (диагональ основания куба) равен "a√2".

Используем тангенс угла "AOB":

tan(θ) = h / (AB) tan(θ) = (a * √3) / (a√2) tan(θ) = √3 / √2 tan(θ) = √(3/2)

Теперь найдем сам угол "θ":

θ = arctan(√(3/2))

Подсчитаем численное значение:

θ ≈ 35.26°

Таким образом, угол между соседними боковыми гранями пирамиды составляет приблизительно 35.26 градусов.