Question

первый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии равен 8, а ее сумма равна 16. Найдите сумму третьего и четвертого членов этой геометрической прогрессии.​

Answer 1

Ответ: 3.

Пошаговое объяснение:

Пусть b1=8 - первый член прогрессии, a q - её знаменатель. Сумма прогрессии S=b1/(1-q)=8/(1-q)=16. Отсюда 1-q=1/2 и q=1/2. Тогда третий член прогрессии b3=b1*q²=8*1/4=2, а четвёртый член b4=b3*q=2*1/2=1. Искомая сумма S1=b3+b4=2+1=3.

Answer 2

Ответ: b₃+b₄=3.

Пошаговое объяснение:

b₁=8     S=16      b₃+b₄=?

S=b₁/(1-q)

8/(1-q)=16   |÷8

1/(1-q)=2

2*(1-q)=1

2-2q=1

2q=1

q=1/2     ⇒

b₃=b₁q²=8*(1/2)²=8*(1/4)=8/4=2.

b₄=b₁q³=8*(1/2)³=8/8=1.

b₃+b₄=2+1=3.

Answer 3

Для бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом $a$ и знаменателем $r$ сумма первых $n$ членов вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a}{1-r},$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии.

У нас даны сумма и первый член:

$a = 8, \quad S_4 = 16.$

Сумма первых 4 членов прогрессии равна:

$S_4 = \frac{a}{1-r}.$

Мы также знаем, что:

$S_4 = a + ar + ar^2 + ar^3.$

Подставим значения:

$16 = 8 + 8r + 8r^2 + 8r^3.$

Теперь нам нужно решить это уравнение и найти значение $r$. После того, как мы найдем $r$, мы можем вычислить третий и четвертый члены прогрессии:

$a_3 = ar^2, \quad a_4 = ar^3.$

Давайте решим уравнение:

$8 + 8r + 8r^2 + 8r^3 = 16.$

Перенесем все члены в одну сторону:

$8r^3 + 8r^2 + 8r - 8 = 0.$

Теперь делим все на 8:

$r^3 + r^2 + r - 1 = 0.$

У этого уравнения есть очевидный корень $r = 1$, так как если подставить $r = 1$, то уравнение станет верным. Теперь нам нужно разделить уравнение на $r - 1$ синтетическим делением:

$$\begin{array}{rrrr|r} 1 \, | & 1 & 1 & 1 & -1 \\ & -1 & 0 & 1 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$$

Получаем уравнение $r^2 + 1 = 0$, которое имеет комплексные корни. Один из корней $r = i$, где $i$ - мнимая единица (квадратный корень из -1). Второй корень будет $r = -i$.

Теперь у нас есть два корня для $r$: $r = i$ и $r = -i$.

Чтобы найти третий и четвертый члены прогрессии, мы используем формулу $a_3 = ar^2$ и $a_4 = ar^3$.

Для $r = i$:

$a_3 = 8 \cdot i^2 = 8 \cdot (-1) = -8,$ $a_4 = 8 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i.$

Для $r = -i$:

$a_3 = 8 \cdot (-i)^2 = 8 \cdot (-1) = -8,$ $a_4 = 8 \cdot (-i)^3 = 8 \cdot i = 8i.$

Таким образом, сумма третьего и четвертого членов геометрической прогрессии равна:

$a_3 + a_4 = (-8) + (-8i) = -8(1 + i) \quad \text{или} \quad (-8) + 8i = 8(i - 1).$