Question

Найдите частичное решение уравнения y''+10y'+25y=0, y'(0)=2, y(1/5)=0

Answer 1

Ответ: y = e⁻⁵ˣ (2-5x)

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения частичного решения данного дифференциального уравнения, мы сначала предположим, что решение имеет вид y(x) = e^(rx), где r - некоторое комплексное число.

Подставим это предположение в уравнение y'' + 10y' + 25y = 0:

y'' = r^2 * e^(rx) y' = r * e^(rx)

Получим:

r^2 * e^(rx) + 10r * e^(rx) + 25 * e^(rx) = 0

Теперь вынесем e^(rx) за скобки:

e^(rx) * (r^2 + 10r + 25) = 0

Так как e^(rx) никогда не равен нулю, кроме случая, когда r = 0, то получаем квадратное уравнение:

r^2 + 10r + 25 = 0

Для его решения воспользуемся квадратными корнями:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 10, c = 25.

r = (-10 ± √(10^2 - 4 * 1 * 25)) / 2 * 1 r = (-10 ± √(100 - 100)) / 2 r = (-10 ± 0) / 2

Таким образом, у нас есть два одинаковых корня: r = -5.

Частичное решение имеет вид:

y_p(x) = C1 * e^(-5x) + C2 * x * e^(-5x)

Теперь применим начальные условия, чтобы найти значения констант C1 и C2.

1. y'(0) = 2:

y'(x) = -5C1 * e^(-5x) + C2 * e^(-5x) - 5C2 * x * e^(-5x)

Подставляем x = 0:

-5C1 + C2 = 2 ...........(1)

2. y(1/5) = 0:

y(x) = C1 * e^(-5x) + C2 * x * e^(-5x)

Подставляем x = 1/5:

C1 * e^(-1) + (1/5) * C2 * e^(-1) = 0 C1 + (1/5) * C2 = 0 ...........(2)

Теперь решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения C1 и C2:

(1) * 5:

-25C1 + 5C2 = 10

(2):

C1 + (1/5) * C2 = 0

Добавим уравнения:

-24C1 = 10

C1 = -10 / 24 = -5 / 12

Теперь найдем C2:

C1 + (1/5) * C2 = 0

-5/12 + (1/5) * C2 = 0

(1/5) * C2 = 5/12

C2 = (5/12) * 5 = 25 / 60 = 5 / 12

Таким образом, частичное решение уравнения y'' + 10y' + 25y = 0 с начальными условиями y'(0) = 2 и y(1/5) = 0 имеет вид:

y_p(x) = (-5/12) * e^(-5x) + (5/12) * x * e^(-5x)