Question

На экзамене по математике есть 4 темы, в которых 7,6,8, 10 вопросов соответственно. Студент знает правильные ответы на 6,4,6,7 вопросов. В процессе экзамена ему задают поточенном два случайно выбранных вопроса из разных тем. Если студент не отвечает, то считается не сдавшим. Мы знаем, что студент не сдал экзамен. Какова вероятность что его подвёл вопрос из второй темы.

Answer 1

Ответ:

≈ 0.254

Пошаговое объяснение:

Пусть имеются следующие гипотезы:

H₁ - студенту попался вопрос на билет из 1 темы

H₂ - студенту попался вопрос на билет из 2 темы

H₃ - студенту попался вопрос на билет из 3 темы

H₄ - студенту попался вопрос на билет из 4 темы

Соответственно априорные вероятности тогда равны P(H₁)=P(H₂)=P(H₃)=P(H₄) = $\frac{1}{4}$

Пусть событие A связано с тем, что студент не ответил на вопрос. Тогда условные вероятности равны:

$P(A | H_1) = \frac{1}{4}*\frac{1}{7}\\P(A | H_2) = \frac{1}{4} * \frac{2}{6}\\P(A | H_3) = \frac{1}{4} * \frac{2}{8}\\P(A | H_4) = \frac{1}{4} * \frac{3}{10}$

А полная вероятность (т.е. вероятность того, что студент не сдал экзамен) равна сумме $P(A | H_i)$ по всем i.

$P(A) = \frac{1}{4}(\frac{1}{7} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{10}) = \frac{551}{1680}$

Находим теперь апостериорную вероятность, согласно формуле Байеса:

$P(H_2 | A) = \frac{P(H_2) * P(A | H_2)}{P(A)}$

Таким образом,

$P(H_2 | A) = \frac{\frac{1}{4}*\frac{1}{3}}{\frac{551}{1680}} = \frac{1680}{551*12} = \frac{1680}{6612} \approx 0.254$

Answer 2

Давайте введем обозначения: A - событие "студент не сдал экзамен" B - событие "вопрос подвел из второй темы"

Нам известны следующие данные: P(A) = 1 (студент не сдал экзамен) P(B|A) = ? P(B) = ?

Мы хотим найти вероятность P(B|A), то есть вероятность того, что вопрос подвел из второй темы, при условии, что студент не сдал экзамен.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Нам известно, что студент не сдал экзамен, поэтому P(A) = 1.

P(A ∩ B) - это вероятность того, что студент не сдал экзамен и вопрос подвел из второй темы. Чтобы вычислить эту вероятность, нам нужно знать количество возможных комбинаций выбрать 2 вопроса из разных тем (7 * (6+8+10) = 7 * 24 = 168), а затем количество комбинаций, когда оба вопроса выбраны из второй темы (6 * 24 = 144). Таким образом, P(A ∩ B) = 144/168.

Теперь мы можем вычислить вероятность:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (144/168) / 1 = 144/168 ≈ 0.8571

Итак, вероятность того, что вопрос подвел из второй темы, при условии, что студент не сдал экзамен, составляет примерно 0.8571 или около 85.71%.