Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-7x+10 и y=2x-8

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем найти интеграл от модуля разности уравнений этих кривых в пределах этих точек.

Шаг 1: Найдем точки пересечения двух кривых, приравнивая их уравнения:

y = x^2 - 7x + 10 y = 2x - 8

Теперь приравняем эти уравнения:

x^2 - 7x + 10 = 2x - 8

Шаг 2: Решим уравнение для нахождения значения x:

x^2 - 7x - 2x + 10 + 8 = 0 x^2 - 9x + 18 = 0

Теперь используем квадратное уравнение для нахождения корней:

x = (9 ± √(9^2 - 4 * 1 * 18)) / 2 x = (9 ± √(81 - 72)) / 2 x = (9 ± √9) / 2 x = (9 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x₁ = 6 и x₂ = 3.

Шаг 3: Найдем соответствующие значения y, подставив найденные x обратно в уравнения:

Для x₁ = 6: y = 6^2 - 7 * 6 + 10 = 36 - 42 + 10 = 4

Для x₂ = 3: y = 3^2 - 7 * 3 + 10 = 9 - 21 + 10 = -2

Теперь у нас есть две точки пересечения: (6, 4) и (3, -2).

Шаг 4: Вычислим площадь фигуры, используя интеграл от модуля разности уравнений:

Площадь = ∫[a, b] |(f(x) - g(x))| dx, где a и b - координаты точек пересечения.

Площадь = ∫[3, 6] |((x^2 - 7x + 10) - (2x - 8))| dx Площадь = ∫[3, 6] |(x^2 - 7x + 10 - 2x + 8)| dx Площадь = ∫[3, 6] |x^2 - 9x + 18| dx

Теперь вычислим интеграл:

Площадь = ∫[3, 6] (x^2 - 9x + 18) dx

Интегрируем по x:

Площадь = (1/3) * x^3 - (9/2) * x^2 + 18x |[3, 6] Площадь = [(1/3) * 6^3 - (9/2) * 6^2 + 18 * 6] - [(1/3) * 3^3 - (9/2) * 3^2 + 18 * 3] Площадь = [(1/3) * 216 - (9/2) * 36 + 108] - [(1/3) * 27 - (9/2) * 9 + 54] Площадь = [72 - 162 + 108] - [9 - 81 + 54] Площадь = 18 - 36 Площадь = 18

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 7x + 10 и y = 2x - 8, равна 18 квадратных единиц.