Question

Найти структуру частного и общего решения неоднородного дифференциального уравнения: y'' - 5y' + 6y = (x + 4)*e^(2x)

Answer 1

$y''-5y'+6y=(x+4)\cdot e^{2x}\\\\a)\; \; k^2-5k+6=0\; \; \to \; \; \; k_1=2\; ,\; k_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\y_{obshee\; odnorodnogo}=C_1\cdot e^{2x}+C_2\cdot e^{3x}\\\\b)\; \; y_{chastn.\; neodnor.}=(Ax+B)\cdot x\cdot e^{2x}=(Ax^2+Bx)\cdot e^{2x}\\\\y'=(2Ax+B)\, e^{2x}+2\, (Ax^2+Bx)\, e^{2x}\\\\y''=2A\, e^{2x}+2e^{2x}(2Ax+B)+4e^{2x}(Ax^2+Bx)+2e^{2x}\cdot (2Ax+B)\\\\y''-5y'+6y=-e^{2x}\cdot (2Ax+B)+2A\, e^{2x}=(x+4)\cdot e^{2x}\\\\x\, |\; -2A=1\; \; \to \; \; A=-\frac{1}{2}\\\\x^0\, |\; 2A-B=4\; ,\; \; B=2A-4=-1-4=-5$

.$y_{chastn.neodnor.}=(-\frac{x}{2}-5)\cdot e^{2x}\\\\c)\; \; y_{obshee\; neodnor.}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-(\frac{x}{2}+5)\, e^{2x}=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}-\frac{1}{2}\, (x+10)e^{2x}$

Answer 2

Для нахождения структуры частного и общего решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, данного в виде:

y'' - 5y' + 6y = (x + 4)*e^(2x),

начнем с решения однородного уравнения:

y'' - 5y' + 6y = 0.

1. Решение однородного уравнения: Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению, имеет вид:

r^2 - 5r + 6 = 0.

Чтобы найти его корни (r1 и r2), решим квадратное уравнение:

(r - 2)(r - 3) = 0.

Таким образом, корни характеристического уравнения:

r1 = 2, r2 = 3.

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C1e^(2x) + C2e^(3x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Частное решение неоднородного уравнения: Для нахождения частного решения неоднородного уравнения, воспользуемся методом вариации постоянной.

Предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = Axe^(2x) + B*e^(2x),

где A и B - неопределенные постоянные.

Теперь найдем производные от y_p(x):

y_p'(x) = Ae^(2x) + 2Axe^(2x) + 2Be^(2x),

y_p''(x) = 2Ae^(2x) + 4Axe^(2x) + 4Ae^(2x) + 2B*e^(2x).

Теперь подставим y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в исходное уравнение:

2Ae^(2x) + 4Axe^(2x) + 4Ae^(2x) + 2Be^(2x) - 5(Ae^(2x) + 2Axe^(2x) + 2Be^(2x)) + 6*(Axe^(2x) + B*e^(2x)) = (x + 4)*e^(2x).

Упростим уравнение:

(2A - 5A + 6A)*e^(2x) + (4A - 10A + 6B)xe^(2x) = (x + 4)*e^(2x).

Теперь приравняем коэффициенты при соответствующих экспонентах:

1. Для e^(2x): 2A - 5A + 6A = 0, 3A = 0, A = 0.

2. Для x*e^(2x): 4A - 10A + 6B = 1, -6A + 6B = 1, 6B = 1, B = 1/6.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

y_p(x) = (1/6)*e^(2x).

3. Общее решение неоднородного уравнения: Теперь объединим общее решение однородного уравнения (y_h(x)) и частное решение неоднородного уравнения (y_p(x)):

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C1e^(2x) + C2e^(3x) + (1/6)*e^(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.