Question

Помогите пожалуйста :определить и записать структуру частного решения y(х) линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x) , не находя коэффициентов 2y''-7y'+3y=f (x) ; а) f (x)=(2x+1)e^3x; б) f (x)=cos 3x С подробным решением, чтобы я смогла разобраться. Спасибо.

Answer 1

1. Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной. Также стоит заметить что это уравнение с разделяющимися переменными.

    

           - общий интеграл

Найдем теперь частное решение, подставив х=0 и у = 1 в общий интеграл

Т. е. имеем частное решение: 

2. Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.

Пусть , тогда получаем характеристическое уравнение вида:

   

Answer 2

Для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения вида:

2y'' - 7y' + 3y = f(x),

где f(x) - заданная функция, мы можем использовать метод вариации произвольной постоянной.

а) Для f(x) = (2x + 1)e^(3x):

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

2y'' - 7y' + 3y = 0.

Для этого предположим, что решение имеет вид y(x) = e^(rx). Подставим это предположение в уравнение и получим характеристическое уравнение:

2r^2 - 7r + 3 = 0.

Решим характеристическое уравнение и найдем его корни:

(r - 1)(2r - 3) = 0.

Из этого получаем два корня: r₁ = 1 и r₂ = 3/2.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C₁e^x + C₂e^(3x),

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения с помощью метода вариации произвольной постоянной. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = u(x)e^(3x), где u(x) - функция, которую нужно определить.

Вычислим производные y_p(x):

y_p'(x) = u'(x)e^(3x) + 3u(x)e^(3x), y_p''(x) = u''(x)e^(3x) + 6u'(x)e^(3x) + 3u(x)e^(3x).

Подставим выражения для y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в исходное уравнение и упростим:

2(u''(x)e^(3x) + 6u'(x)e^(3x) + 3u(x)e^(3x)) - 7(u'(x)e^(3x) + 3u(x)e^(3x)) + 3u(x)e^(3x) = (2x + 1)e^(3x).

Упростим это уравнение:

2u''(x)e^(3x) + 12u'(x)e^(3x) + 6u(x)e^(3x) - 7u'(x)e^(3x) - 21u(x)e^(3x) + 3u(x)e^(3x) = (2x + 1)e^(3x).

2u''(x)e^(3x) + 5u'(x)e^(3x) - 12u(x)e^(3x) = (2x + 1)e^(3x).

Разделим обе части у