Question

Рациональное число p/q является суммой 35 дробей 1/2^2, 2/3^2, ..., 35/36^2. Доказать, что р делится на 37

Answer 1

Воспользуемся леммой

Если m-простое число в данном случае m=37, то набор N={2,3,4,5...,35}  всегда можно разбить на пары (a,b) произведении которых, будут давать  a*b дает остаток 1 по модулю 37 (некий частный случай Теоремы Вильсона).

Преобразуем

1/2^2+2/3^2+3/4^2+...+35/36^2  = ((3*4*5*...*36)^2+2*(2*4*5*6*...*36)^2+...+35*(2*3*4*...*35)^2)/(36!)^2

По теореме Вильсона 36! = 36 по mod 37 значит докажем числитель делится на 37 (это и докажет что p делится на 37) так как q не делится на 37.

Воспользовавшись леммой, получаем что каждое слагаемое в числителе

(3*4*5*...*36)^2=(36*x1)^2 по mod 37

(2*4*5*6*...*36)^2=(36*x2)^2 по mod 37

(2*3*5*6*...*36)^2=(36*x3)^2 по mod 37  

...

(2*3*4*5*...*35)^2=1 mod 37  (Теорема Вильсона)

Отметим что x1,x2,x3.,,,.x(m-3)  чисел попарно различные, образующие очевидно множество {2,3,4,...m-2} тогда среди можно выбрать два элемента которые дадут сравнение  x^2=y^2 mod 37  потому что (x-y)(x+y)=0 mod 37 , а множество можно разбить на соответственные суммы  2+35=3+34=...=18+19

p=36^2(1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2)+35  

так как 36^2=1 по mod 37  

Докажем что (1*x1^2+2*x2^2+3*x3^2+4*x4^2+...+34*x(34)^2) = 2  mod 37

Так как выше было сказано что половина остатков равные, то выражение можно записать через остатки которые будут образовывать последовательную сумму (так как набор из множества {2,3,4,...,35}  откуда

p=35*(2^2+3^2+4^2+...+17^2+18^2)  

воспользуемся формулой что 1^2+2^2+3^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Тогда p=35*(18*19*37/6-1) = 35*3*19*37 - 35 = 0-(37-2) = 2 mod 37

То есть p=36^2*2+35 = 1*2+35 = 0 mod 37

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим сумму данных дробей и попробуем её упростить.

Сумма данных дробей:

p/q = 1/2^2 + 2/3^2 + ... + 35/36^2

Первым шагом, давайте найдем общий знаменатель для всех дробей. Заметим, что наибольший знаменатель среди всех дробей равен 36^2, так как 36^2 = 36 * 36 = 1296.

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю 36^2:

p/q = (1 * 36^2)/(2^2 * 36^2) + (2 * 36^2)/(3^2 * 36^2) + ... + (35 * 36^2)/(36^2 * 36^2)

Упростим числители:

p/q = 36^2/2^2 * 1/36^2 + 36^2/3^2 * 2/36^2 + ... + 36^2/36^2 * 35/36^2

Теперь упростим каждую дробь вида 36^2/36^2. Очевидно, что каждая такая дробь равна 1:

p/q = 1/2^2 + 4/3^2 + ... + 1225/36^2

Теперь давайте заметим, что каждая дробь 1/k^2 в числителе, где k принимает значения от 2 до 36, соответствует разложению на простые дроби:

1/k^2 = A/k + B/k^2

где A и B - целые числа.

Теперь давайте заменим каждую дробь 1/k^2 в сумме разложением на простые дроби:

p/q = (A1/2 + B1/2^2) + (A2/3 + B2/3^2) + ... + (A36/36 + B36/36^2)

Теперь приведем каждый член в скобках к общему знаменателю 2^2 * 3^2 * ... * 36^2:

p/q = (A1 * 3^2 * ... * 36^2 + B1) / (2^2 * 3^2 * ... * 36^2) + ... + (A36 * 2^2 * 3^2 * ... * 35^2 * 36^2 + B36) / (2^2 * 3^2 * ... * 35^2 * 36^2)

Теперь заметим, что знаменатель в каждом члене суммы содержит произведение всех чисел от 2 до 36, кроме одного числа в числителе. Таким образом, все члены суммы, кроме одного, являются целыми числами.

Теперь рассмотрим последний член суммы:

(A36 * 2^2 * 3^2 * ... * 35^2 * 36^2 + B36) / (2^2 * 3^2 * ... * 35^2 * 36^2)

В числителе этой дроби у нас присутствует произведение всех чисел от 2 до 36, кроме 37. Так как 37 является простым числом и не делится ни на какое другое число из промежутка от 2 до 36, то можно заключить, что числитель делится на 37.

Таким образом, общая сумма p/q состоит из целых чисел, кроме одного числа в числителе последнего члена, который делится на 37. Поэтому p/q делится на 37.