Question

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8, а AB = 3.

Answer 1

Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, т.е. ∠OBA = 90°. Из прямоугольного треугольника AOB по теореме Пифагора

$AO=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{3^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2}=5$

Тогда AC = OC + OA = (8/2) + 5 = 4 + 5 = 9

Ответ: 9.

Answer 2

Дано, что окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Нам также известно, что диаметр окружности равен 8, а AB = 3.

Поскольку окружность касается прямой AB в точке B, мы можем провести перпендикуляр из центра окружности к прямой AB, который также будет проходить через точку B. Обозначим эту перпендикуляр как BD.

Так как AD является высотой треугольника ABC, а BD - перпендикуляр из центра окружности, то они пересекаются в точке H, являющейся ортоцентром треугольника ABC.

Треугольник AHB является прямоугольным, так как AH - высота и BD - радиус окружности, пересекающийся с прямой AB под прямым углом.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике AHB применяется теорема Пифагора: AH^2 + HB^2 = AB^2

Мы знаем, что AB = 3, поэтому: AH^2 + HB^2 = 3^2 AH^2 + HB^2 = 9

Также известно, что диаметр окружности равен 8, а радиус окружности равен половине диаметра, то есть 4. Следовательно, HB = 4.

Подставим значение HB в уравнение: AH^2 + 4^2 = 9 AH^2 + 16 = 9 AH^2 = 9 - 16 AH^2 = -7

Заметим, что полученное уравнение имеет отрицательное значение слева от знака равенства. Оно не имеет действительных решений.

Таким образом, нет решения для треугольника ABC с заданными параметрами.