Question

На столе лежат 25 камешков. Два игрока по очереди берут 1 или 2 камешка. Проигравшим считается тот, кто возьмёт со стола последние камешки. Кто выиграет при правильной игре?

Answer 1

Стратегия первого: для начала он разбивает 25 камешков на кучки по 1 и по 2. Так, 25=12*2+1, так что он мысленно (или непосредственно раскладывает) разбивает все камешки на 12 пар и 1 камешек. Пусть $P_{1}$ - это количество групп по одному камешку, а $P_{2}$ - соответственно по два. Назовем разбиение хорошим, если $P_{1}+P_{2}$ нечетно. Если в некоторый момент времени $P_{2}\neq 0$, то первый всегда может менять четность суммы $P_{1}+P_{2}$, убирая один камешек из групп по одному камешку или два камешка из групп по двое и сохранять ее, убирая один камешек из групп по двое. Если $P_{2}=0$ и игра еще не окончена, то первый опять мысленно разбивает все камешки на группы по одному и по двое. Стратегия первого будет заключаться в том, чтобы каждый раз после его хода разбиение было хорошим, что, как мы показали, всегда возможно.

Answer 2

Данная игра является примером математической игры, известной как "Игра в 25 камешков". Для определения победителя при правильной игре рассмотрим стратегию.

Сначала обратим внимание на то, что игрок, которому предстоит ходить, всегда может оставить на столе количество камешков, кратное 3, если он правильно выбирает количество камешков на своем ходу.

Ситуация на столе после каждого хода будет выглядеть следующим образом (n - количество камешков):

1. n = 25 (начальное состояние)
2. n = 24 (если игрок взял 1 камень, то противник возьмет 2, чтобы оставить 3 камня)
3. n = 23 (если игрок взял 2 камня, то противник возьмет 1, чтобы оставить 3 камня)
4. n = 22 (противник оставил 3 камня)
5. n = 21 (противник оставил 3 камня)
6. n = 20 (противник оставил 3 камня)
7. и т.д.

Таким образом, если игрок всегда будет стремиться оставить на столе кратное 3 количество камешков, то он выиграет, так как сможет оставить последние 3 камешка и противник не сможет сделать ход, так как можно брать только 1 или 2 камешка за раз.

Таким образом, при правильной игре первый игрок (игрок, делающий первый ход) всегда выигрывает в "Игре в 25 камешков".