Question

На столе лежат две кучки шаров, по 30 шаров в каждой. Два игрока по очереди берут со стола любое количество шаров , но при одном ходе из какой-нибудь одной кучки. Выигравшим считается тот, кто берёт со стола последние шары. Кто и как выиграет при правильной игре? ​

Answer 1

Мы понимаем, что выиграть хочет каждый. Пусть первый игрок взял из первой кучки n шаров. Тогда второй возьмёт столько же шаров из второй кучки. Получили две одинаковые кучки. Если так и дальше будет продолжаться, в конце концов второй заберёт из какой-то кучки оставшиеся шары. То есть при любом возможном ходе первого у второго есть выигрышная стратегия.

Ответ: второй, если при каждом ходе будет брать из противоположной кучки столько же шаров, сколько взял первый.

Answer 2

Если игроки будут играть с оптимальной стратегией, то выигрышный результат зависит от исходного количества шаров в каждой кучке.

Предположим, что в начале игры обе кучки содержат по 30 шаров. В этом случае первый игрок может взять любое количество шаров от 1 до 29 из одной из кучек. Независимо от того, сколько шаров возьмет первый игрок, второй игрок может выбрать такое количество шаров из другой кучки, чтобы сумма взятых ими шаров и шаров первого игрока составляла 30. Таким образом, первый игрок не сможет оставить на столе последний шар, и выиграет второй игрок.

Если изначально в каждой кучке будет 1-29 шаров, то первый игрок сможет выбирать количество шаров таким образом, чтобы общее количество шаров взятых им и вторым игроком составляло 30. Таким образом, первый игрок всегда сможет оставить на столе последний шар и выиграть игру.

Вывод: Если обе кучки содержат по 30 шаров, выиграет второй игрок. Если каждая кучка содержит 1-29 шаров, выиграет первый игрок, при условии, что игроки играют с оптимальной стратегией.