Question

Вычислите предел, используя правило Лопиталя. lim tgx-x/sinx-x^2 x->0

Answer 1

$= \lim_{x \to \ 0} \frac{ \frac{1}{cos^{2}x }-1 }{cosx - 2x} = \lim_{x \to \ 0} \frac{ tg^{2}x }{cosx - 2x} = \frac{tg^{2}0}{cos0-2*0}= \frac{0}{1-0} = \frac{0}{1} =0$

Answer 2

Для вычисления предела $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{\sin x - x^2}$$ с помощью правила Лопиталя, нужно выполнить следующие шаги:

- Проверить, что предел имеет неопределенность вида $$\frac{0}{0}$$ или $$\frac{\infty}{\infty}$$, подставив значение $$x = 0$$ в функцию. В данном случае, получаем $$\frac{\tan 0 - 0}{\sin 0 - 0^2} = \frac{0}{0}$$, что является неопределенностью. - Найти производные числителя и знаменателя функции. В данном случае, $$\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1$$ и $$\frac{d}{dx}(\sin x - x^2) = \cos x - 2x$$. - Вычислить предел отношения производных, используя те же правила, что и для обычных функций. В данном случае, $$\lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{\cos x - 2x} = \frac{1 - 1}{1 - 0} = 0$$.

Ответ: $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{\sin x - x^2} = 0$$.

Дополнительную информацию о правиле Лопиталя можно найти на [этой странице](http://www.mathprofi.ru/pravila_lopitalya.html) или в [Википедии](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE_%D0%9B%D0%BE%D0%BF%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8F).