Question

На доске записаны натуральные числа от 1 до п; разрешается заменить любые два числа абсолютной величиной их разности. Можно ли многократным применением этой операции получит число 0?

Answer 1

Ответ:

Не всегда.

Пошаговое объяснение:

В зависимости от значения числа n подобная операция может быть как осуществима, так и неосуществима.

Простейший нераскладываемый контрпример:

при n = 2 получается несократимая указанным методом последовательность:

{1, 2}

Ну никак, правда?;).

Гарантированно раскладываются последовательности при значениях n:

n = 4a

n = 4a-1,

где а - любое целое положительное.

Answer 2

Да, можно получить число 0, многократно применяя данную операцию.

Рассмотрим два случая:

1. Если число п является четным, то мы можем разделить все числа на 2. Например, если п = 8, у нас есть последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Заменяя числа абсолютными значениями их разности, мы получим следующие шаги:

   • 7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0
   • 5, -5, -4, -3, -2, -1, 0
   • 0, -9, -3, -2, -1, 0
   • -9, -6, -2, -1, 0
   • -15, -4, -1, 0
   • -19, -3, 0
   • -22, -3
   • -25

   В итоге, мы получили число 0.

2. Если число п является нечетным, то мы можем выделить одно число, которое будет иметь отрицательное значение, и все остальные числа будут положительными. Например, если п = 7, у нас есть последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Заменяя числа абсолютными значениями их разности, мы получим следующие шаги:

   • -6, -5, -4, -3, -2, -1, 7
   • -1, -1, -1, -1, -1, 7
   • 0, -1, -1, -1, 6
   • -1, 0, -1, 5
   • 1, -1, 4
   • 2, 3
   • -1

   В итоге, мы также получили число 0.

Таким образом, в обоих случаях мы можем получить число 0, многократно применяя операцию замены двух чисел абсолютной величиной их разности.