Question

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2012, 2013. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности (т.е. результат вычитания из большего меньшего, см. комментарий ниже). В конце концов на доске останется одно число. Какое наименьшее число могло получиться? Модулем числа называет "число без знака", т.е. для положительного числа и нуля модуль — это оно само, а для отрицательных чисел модуль — это же число, но взятое с противоположным знаком. Например, модуль числа 7 — это число 7, для 0 — это число 0, а для −5 — это число 5.

Answer 1

Ответ: 1.

Покажем, что в результате не мог получиться 0. Для этого докажем, что в результате на доске останется нечетное число.

Заметим, что четность количества нечетных чисел, которые записаны на доске, не изменяется. Действительно, если мы заменяем четное и нечетное числа, то в результате будет на доске записано нечетное число (т.к. разность четного и нечетного числа — нечетна). Т.е. количество нечетных чисел не изменяется. Если же заменяем числа одной четности, то в результате на доске будет записано четное число (т.к. разность четного и четного — четно, а также разность нечетного и нечетного — четно). Т.е. количество нечетных чисел либо не изменится, либо уменьшится на 2. 

Изначально число нечетных чисел равно 2013+12=1007, т.е. нечетно, а значит и в конце оно будет нечетно.

Стратегия. Докажем, что мы можем получить число 1. Для этого покажем, что если мы возьмем четыре последовательных числа (a, a+1, a+2, a+3), то мы можем из них сделать 0.

Первая операция: |(a+1)−a|=1. Вторая операция: |(a+3)−(a+2)|=1. Третья операция: 1−1=0.

Теперь мы разобьем числа на четверки и сделаем из каждой четверки 0 (1 мы отложим): {2,3,4,5}, …, {2010,2011,2012,2013}. После этого из полученных 0 с помощью нашей операции мы получим один 0. 

После этого найдем модуль разности 1 и 0 и получим 1.