Question

На доске написаны числа от 1 до 100. За один ход стираются 2 числа, а на доску записывается либо модуль их разности, либо их сумма. Какие величины являются инвариантами процесса? Выберите все правильные варианты ответа. 1.Количество чисел2.Разность между наибольшим и наименьшим числом3.Четность количества нечетных чисел4.Четность количества четных чисел5.Четность суммы всех чисел на доскеВ условиях предыдущей задачи в конце на доске осталось одно число. Какому из перечисленных чисел оно может быть равно?

Answer 1

Ответ:

верно 3 и 5

Пошаговое объяснение:

1) Нечетных чисел 50( четно)  , если сложить ( вычесть ) 2

четных числа , то  количество нечетных не изменится (

останется четным) , а если сложить   ( вычесть)  четное и

нечетное число , то одно нечетное число исчезнет ,

но вместо него появится другое нечетное и значит

количество нечетных чисел не изменится ( останется четным) ,

ну а если сложить ( вычесть) 2 нечетных числа , то

полученное число будет четным , но

количество нечетных чисел уменьшится на 2 , то есть

останется четным , значит при любом раскладе количество

нечетных чисел останется  четным

2) сумма четного числа нечетных чисел - число четное , но как

доказано  в пункте  1)  количество нечетных чисел остается

всегда четным числом , а значит их сумма остается четной и

следовательно не меняется  четность суммы всех чисел на

доске ( сумма оставшихся  четных чисел  четна независимо от

их количества)

3) так как количество нечетных чисел всегда остается четным

, то  последнее число( а оно одно)  может  быть только

четным

Answer 2

Давайте разберемся с инвариантами процесса:

1. Количество чисел: Этот параметр будет изменяться при каждом ходе, так как за один ход стираются 2 числа. Поэтому количество чисел не является инвариантом.

2. Разность между наибольшим и наименьшим числом: Если мы выбираем два числа и вычисляем модуль их разности или их сумму, то разность между наибольшим и наименьшим числом может увеличиваться или уменьшаться, в зависимости от выбранных чисел. Поэтому это не является инвариантом.

3. Четность количества нечетных чисел: Это будет инвариант, так как каждый ход не влияет на четность количества нечетных чисел. Если у нас изначально было четное количество нечетных чисел, то и после каждого хода будет четное количество нечетных чисел, так как сумма или разность двух нечетных чисел будет четным числом. То же верно и для нечетного количества нечетных чисел.

4. Четность количества четных чисел: Аналогично предыдущему пункту, это будет инвариант, так как каждый ход не влияет на четность количества четных чисел.

5. Четность суммы всех чисел на доске: Это также будет инвариант, так как каждый ход не влияет на четность суммы всех чисел. При вычислении модуля разности или суммы двух чисел, четность суммы всех чисел сохраняется.

Теперь, касательно последнего вопроса:

Если в конце на доске осталось одно число, это число может быть равно любому числу от 1 до 100, так как все операции, которые мы выполняли, были обратимыми (то есть по последнему числу нельзя точно определить, какие именно числа были записаны на доске до этого).