Question

1.Доведіть, що квадрат різниці двох довільних дійсних чисел не менший від їх добутку, помноженного на - 4. ​

Answer 1

Пусть одно число х, а второе - у. Тогда составим неравенство

$(x-y)^2\geq -4xy\\ \\ x^2-2xy+y^2\geq -4xy\\ \\ x^2+2xy+y^2\geq 0\\ \\ (x+y)^2\geq 0$

Как видим, левая часть неравенства неотрицательно, т.е. неравенство выполняется для произвольных чисел x,y.

Answer 2

Для доведення даного твердження, розглянемо два довільних дійсних числа, позначимо їх як a і b. Нам потрібно довести, що (a - b)^2 ≥ -4ab.

Почнемо з лівої частини нерівності:

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Тепер розглянемо праву частину нерівності:

-4ab

Тепер докажемо, що ліва частина більша або рівна правій частині, тобто:

a^2 - 2ab + b^2 ≥ -4ab

Розпишемо ліву частину нерівності:

a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = (a + b)^2 - 4ab

Таким чином, ми маємо:

(a + b)^2 - 4ab ≥ -4ab

Оскільки квадрат будь-якого числа є невід'ємним (або нульовим), то (a + b)^2 ≥ 0. Тому можемо записати:

(a + b)^2 - 4ab ≥ 0 - 4ab = -4ab

Таким чином, отримали:

(a + b)^2 - 4ab ≥ -4ab

Це доводить, що квадрат різниці двох дійсних чисел не менший від їх добутку, помноженого на -4:

(a - b)^2 ≥ -4ab