Question

Найти область определения функцииlog(5) log(2) log(7) x

Answer 1

log(a) b    a, b > 0 a ≠ 1

ну основания все больше 1

смотрим тело логарифма

log(5) (log(2) ( log(7) x )))

1. log(7) x      

x > 0

2. log(2) (log(7) x)    

log(7) x > 0

x > 1

3. log(5) (log(2) ( log(7) x )))

log(2) ( log(7) x ) > 0

log(7) x  > 1

x > 7

дошли до конца x > 7

Answer 2

Для того чтобы найти область определения функции, нужно определить значения x, при которых она будет иметь смысл. В данном случае у нас есть последовательное применение трех логарифмических функций с различными основаниями: log(5), log(2) и log(7) к переменной x.

Для того чтобы логарифм был определен, выражение под логарифмом должно быть положительным. Помимо этого, логарифм от нуля не определен, поэтому также нужно исключить нулевые значения в выражении под логарифмами.

Последовательно рассмотрим условия для каждой из логарифмических функций:

1. log(5) x Здесь x должно быть положительным и не равным нулю: x > 0.

2. log(2) (значение от предыдущего выражения) Значение, полученное в первой функции (log(5) x), должно быть положительным и не равным нулю: log(5) x > 0.

3. log(7) (значение от предыдущего выражения) Значение, полученное во второй функции (log(2) (log(5) x)), должно быть положительным и не равным нулю: log(2) (log(5) x) > 0.

Теперь объединим условия:

1. x > 0 (чтобы log(5) x был определен).
2. log(5) x > 0 (чтобы log(2) (log(5) x) был определен).
3. log(2) (log(5) x) > 0 (чтобы log(7) (log(2) (log(5) x))) был определен).

Это можно представить в виде системы неравенств:

1. x > 0
2. log(5) x > 0
3. log(2) (log(5) x) > 0

Решая систему неравенств, найдем область определения функции log(5) log(2) log(7) x:

1. x > 0 (из первого условия)

2. log(5) x > 0 Перепишем в эквивалентной форме: x > 5^0 x > 1 (потому что 5^0 = 1)

3. log(2) (log(5) x) > 0 Это условие можно разбить на два случая: а) log(5) x > 1 (так как 2^0 = 1, и логарифм от числа больше 1 положителен) б) 0 < log(5) x < 1 (так как 2^x будет положительным только при значениях x от 0 до 1)

Таким образом, область определения функции log(5) log(2) log(7) x - это все положительные значения x, которые больше 1 и для которых log(5) x находится в диапазоне от 0 до 1. Формально это можно записать так:

Область определения: x ∈ (1, +∞)