Question

На очень длинной доске в ряд выписаны все натуральные числа от 1 до : 1, 2, 3 и так далее до числа, состоящего из единицы и 101 нуля. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Answer 1

1)В пределах сотен

В нулевой сотне, если можно так сказать - 1 случай

В первой сотне будет всего 1 случай, которое нас интересует - и оно 120

Во второй чисел уже 11 - от 200 до 209 и 220

В третьей и дальше, вплоть до девятой - по 1.

Итого в пределах 0-ой тысячи 20 раз

В первой тысячи будет тоже 20 раз

Во второй тысячи уже будет 120 - к тем числам, что были, мы добавляем 2020 и диапазон 2000-2100

В третьей и до девятой - по 20

То есть в нулевом десятке тысяч 300 раза

В нулевой сотне тысяч чисел - 4000 раз,

То есть за каждый разряд увеличивается количество в 10^(n-2) раз и в то же время прибавляется на (n-2)*10^(n-2), где n - количество нулей в записи разряда

То есть в нулевой сотне 1 случай

100 = 10^2 -> 1

В нулевой тысяче 20:

1000=10^3 -> 20 = 1 * 10^(3-2) + (3-2)*10^(3-2)

В нулевых десяти тысяч 300:

10000 = 10^4 -> 300 = 1 * 10^(4-2) + (4-2)*10^(4-2)

А для последнего числа количество раз будет

$10^{101} -> 1* 10^{99} +(99*10^{99})=100*10^{99} =10^{101}$

Ответ: 10^101 раз

Answer 2

Для решения этой задачи нужно рассмотреть особенности структуры чисел и их последовательности.

Давайте посмотрим на числа от 1 до 10:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Мы видим, что ноль следует после двойки один раз. Теперь рассмотрим числа от 1 до 100:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., 98, 99, 100

Здесь ноль также следует после двойки один раз. Теперь представим себе числа от 1 до 1000. Мы знаем, что после двух цифр идет одна цифра ноль. Кроме того, после двух цифр вторая цифра будет меняться от 0 до 9 перед тем, как перейти к третьей цифре.

Теперь рассмотрим числа от 1 до 10000. Мы видим, что после двух цифр идет одна цифра ноль, и после трех цифр идет одна цифра ноль.

Из этого паттерна можно сделать вывод, что количество нулей, следующих после двойки в данном ряду, будет равно количеству чисел, имеющих две цифры, плюс количество чисел, имеющих три цифры, плюс количество чисел, имеющих четыре цифры, и так далее, до числа, состоящего из единицы и 101 нуля.

В данном случае, число, состоящее из единицы и 101 нуля, будет иметь 102 цифры. Таким образом, количество нулей после двойки будет равно 2 + 3 + 4 + ... + 102.

Для нахождения суммы такой арифметической прогрессии можно воспользоваться формулой:

S = (n/2) * (a1 + an),

где S - сумма, n - количество элементов в прогрессии, a1 - первый элемент, an - последний элемент.

Применяя эту формулу к нашей задаче, получаем:

S = (102/2) * (2 + 102) = 51 * 104 = 5304.

Таким образом, в данном ряду после двойки идет нуль 5304 раза.