Question

Найти значение производной в точке x0 F(x) = 3x^2+8x+3 x0=1 F(x)= x-18/x x0=3 f(x)= 2x^2*cosx, x0= п/4 Найдите производную функции f(x) = 2^4x-1 f(x) = ln (x^3+5x) помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

1) 14

2) 2 или 3 (см.решение)

3) $\frac{\pi \sqrt{2}}{2}-\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{16}$

4) $16^xln16$

или $2^{4x-1}ln2 \cdot4$ (см.решение)

5) $\frac{3x^2+5}{x^3+5x}$

Пошаговое объяснение:

1) $F(x)=3x^2+8x+3\\F'(x)=(3x^2)'+(8x)'+(3)'=3(x^2)'+8(x)'+(3)'$

Производная от константы (от тройки), равна нулю.

Производная от $x$ равна единице.

Производная от $x^2$ равна $2x$.

$3(x^2)'+8(x)'+(3)'=3\cdot2x+8\cdot1+0=6x+8$

Подставляем $x_{0}=1$:

$6x+8=6+8=14$

2.1) Если имелось в виду следующее: $\frac{x-18}{x}$

То здесь надо использовать формулу для производной от частного:

$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

$(\frac{x-18}{x})'=\frac{1\cdot x-(x-18)\cdot 1}{x^2}=\frac{18}{x^2}$

Подставляем $x_{0}=3$

$\frac{18}{x^2}=\frac{18}{9}=2$

2.2) Если имелось в виду следующее: $x-\frac{18}{x}$

$(x-\frac{18}{x})'=1-(-\frac{18}{x^2})=1+\frac{18}{x^2}$

Подставляем $x_{0}=3$

$1+\frac{18}{x^2}=1+2=3$

3) $2x^2\cdot cosx$

Используем формулу для производной от произведения:

$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$(2x^2\cdot cosx)'=4x\cdot cosx + 2x^2(-sinx)=2x(2cosx-xsinx)$

Подставляем $x_{0}=\pi/4$

$2x(2cosx-xsinx)=2\cdot \pi/4(2cos\frac{\pi}{4}-xsin\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}(2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi}{4}\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}-\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{16}$

4.1) Если имелось в виду следующее:

$f(x)=2^{4x}-1$

$f'(x)=(2^{4x}-1)'=(16^x-1)'=16^xln16$

4.2) Если имелось в виду следующее:

$f(x)=2^{4x-1}$

Используется формула для вычисление производной от сложной функции:

$(f(g))'=f'(g)\cdot g'$

$f'(x)=(2^{4x-1})'=2^{4x-1}ln2 \cdot4$

5)

$f(x)=ln(x^3+5x)$

Дифференциируем по правилу для сложной функции:

$f'(x)=(ln(x^3+5x))'=\frac{1}{x^3+5x}\cdot (3x^2+5)=\frac{3x^2+5}{x^3+5x}$

Answer 2

Давайте последовательно найдем производные для данных функций в указанных точках.

1. Дано: F(x) = 3x^2 + 8x + 3, x0 = 1 Для нахождения производной функции F(x) по x, просто возьмем производную каждого члена и применим правило суммы производных: F'(x) = d/dx (3x^2) + d/dx (8x) + d/dx (3) F'(x) = 6x + 8

Теперь найдем значение производной в точке x0 = 1: F'(1) = 6 * 1 + 8 = 6 + 8 = 14

2. Дано: F(x) = (x - 18) / x, x0 = 3 Для нахождения производной функции F(x) по x, используем правило дифференцирования частного: F'(x) = (x * d/dx (x - 18) - (x - 18) * d/dx (x)) / x^2 F'(x) = (x * 1 - (x - 18) * 1) / x^2 F'(x) = (x - x + 18) / x^2 F'(x) = 18 / x^2

Теперь найдем значение производной в точке x0 = 3: F'(3) = 18 / 3^2 = 18 / 9 = 2

3. Дано: F(x) = 2x^2 * cos(x), x0 = π/4 Для нахождения производной функции F(x) по x, используем правило произведения: F'(x) = d/dx (2x^2) * cos(x) + 2x^2 * d/dx (cos(x)) F'(x) = 4x * cos(x) - 2x^2 * sin(x)

Теперь найдем значение производной в точке x0 = π/4: F'(π/4) = 4 * (π/4) * cos(π/4) - 2 * (π/4)^2 * sin(π/4) F'(π/4) = π * sqrt(2)/2 - (π^2)/16

4. Дано: f(x) = 2^(4x-1) Для нахождения производной функции f(x) по x, применим правило дифференцирования степенной функции: f'(x) = d/dx (2^(4x-1)) f'(x) = ln(2) * 2^(4x-1) * (4)

5. Дано: f(x) = ln(x^3 + 5x) Для нахождения производной функции f(x) по x, применим правило дифференцирования логарифмической функции: f'(x) = d/dx (ln(x^3 + 5x)) f'(x) = (1 / (x^3 + 5x)) * (3x^2 + 5)

Если вам нужно найти значение производной в какой-либо точке, необходимо подставить соответствующее значение x в найденные производные.