Question

Исследуйте функцию на монотонность и экстремум а) у=х^3/3-2х^2-5х-6 б)у=2/х-5

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Задача а)

y = 1/3*x³ - 2*x² - 5*x - 6 - функция.

1) Область определения функции - ООФ - монотонность.

Непрерывная, гладкая.

D(x) = (-∞;+∞) - ответ.

2) Поиск экстремума по первой производной.

y'(x) = x² - 4*x - 5 = 0 - решаем квадратное уравнение

x1 = - 1,   x2 = 5 - точки экстремумов.

3) Локальные экстремумы.

Ymin(5) = - 39 1/3,    Ymax(-1) = - 3 1/3 - ответ.

Рисунок с графиком функции - в приложении.

Задача б)

Дано: y = 2/(x-5).  

(Текст решения с излишествами - полное исследование)

Исследование:

1. Область определения: D(y)= X≠ -5, X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞). Не допускаем деления на 0 в знаменателе.

2.Поведение в точке разрыва. LimY(-5-)= -∞, LimY(-5+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = -5.  

Неустранимый разрыв II-го рода.

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.  

k = lim(+∞)Y(х)/x = 2/(x²--5*х) = 0 - коэффициент наклона.  y = 0 - горизонтальная асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 - нет.

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0)= -2/-5 = 0,4

6. Интервалы знакопостоянства.  

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-5). Положительна: Y>0 - X∈(-5;+∞;)

7. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего вида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).

8. Поиск экстремумов по первой производной.    

y'(x) = - 2/(x-5)² = 0. Корней - нет.

9. Локальные максимумы  - нет.

10. Интервалы монотонности.  

Убывает: X∈(-∞;-5)∪(-5;+∞) - везде, где существует.

11. Поиск перегибов по второй производной.  

y''(x) = 4/(x-5)³ = 0.

Точки перегиба нет, кроме  точки разрыва при Х = 0.    

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;-5). Вогнутая - 'ложка'- X∈(-5;+∞;).

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).  

14. График функции на рисунке в приложении.

Answer 2

Для исследования функций на монотонность и экстремумы, нам необходимо найти производные функций и исследовать их знаки.

а) Функция у = х^3/3 - 2х^2 - 5х - 6

1. Найдем первую производную функции: у' = d(х^3/3 - 2х^2 - 5х - 6)/dx

Для этого возьмем производную каждого слагаемого: у' = (d(х^3)/dx)/3 - (d(2х^2)/dx) - (d(5х)/dx) - (d(6)/dx)

у' = х^2 - 4х - 5

2. Найдем вторую производную функции: у'' = d(х^2 - 4х - 5)/dx

Для этого снова возьмем производную каждого слагаемого: у'' = d(х^2)/dx - d(4х)/dx - d(5)/dx

у'' = 2х - 4

Теперь рассмотрим точки, в которых первая производная равна нулю, чтобы определить экстремумы: х^2 - 4х - 5 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, воспользуемся квадратным корнем:

х = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * (-5))) / 2 х = (4 ± √(16 + 20)) / 2 х = (4 ± √36) / 2 х = (4 ± 6) / 2

Таким образом, получаем два значения х: х₁ = (4 + 6) / 2 = 5 х₂ = (4 - 6) / 2 = -1

Теперь определим знаки производной у': Для х < -1: у' = х^2 - 4х - 5 = (-1)^2 - 4(-1) - 5 = 1 + 4 - 5 = 0 (положительное значение производной) Для -1 < х < 5: у' = х^2 - 4х - 5 < 0 (отрицательное значение производной) Для х > 5: у' = х^2 - 4х - 5 > 0 (положительное значение производной)

Таким образом, у функции у = х^3/3 - 2х^2 - 5х - 6 есть максимум в точке х = -1 и минимум в точке х = 5.

б) Функция у = 2/х - 5

1. Найдем первую производную функции: у' = d(2/х - 5)/dx

Для этого возьмем производную каждого слагаемого: у' = -2/х^2

2. Найдем вторую производную функции: у'' = d(-2/х^2)/dx

Умножим на -1 для удобства вычислений: у'' = 2/х^2

Функция y = 2/х - 5 не имеет точек экстремума, так как её первая производная всегда отрицательна (у' < 0) для всех значений х (кроме х = 0, где производная не существует). Знак второй производной у'' всегда положителен, что также подтверждает отсутствие экстремумов.

Теперь определим монотонность функции:

1. Если у' > 0, то функция возрастает.
2. Если у' < 0, то функция убывает.
3. Если у' = 0, то функция имеет горизонтальный асимптоту.

Поскольку у' всегда отрицательна, функция y = 2/х - 5 является убывающей на всей своей области определения за исключением точки х = 0, где она не определена.