Question

Полностью исследуйте функцию 4x^3+1 / x схема: 1.Область определения 2.четность, ни четность 3.точки пересечения с осями координат 4. непрерывность 5.монотонность и экстремум 6.выпуклость , вогнутость и перегиб 7.асимптоты (вертик, наклон,горизонт) 8.график

Answer 1

Нахождение области определения функции

все кроме x=0

Исследование поведения функции на границе области определения

limf(x) при x__0=(4-x^3)/0=+бесконечность

Исследование функции на четность или нечетность

F(-x)=4-(-x)^3/(-X)^2=4+x^3/X^2  функция не является ни четной ни нечетной те общего типа

определить промежутки возрастания и убывания функции

F'(x)=((4-X^3)'*x^2-(X^2)'*(4-x^3))/x^4=-(x^4+4x)/x^4=-(x^3+4)/X^3

стационарная точка (где числитель в нуль) при X=корень кубический из 4

нуль знаменателя это X=0 критическая точка

рисуем координатную прямую ставим на ней точки 0 и корень кубический из 4

определяем знаки в промежутках ,

F'(-2)=-(-4/-8)=-1/2 слева до нуля -

F'(1)=-5/1=-5 от нуля до корня кубического из 4-

F'(2)= -12/8 от кубического корня до -

функция монотонна и убывает

промежутки вогнутости и выпуклости функции

F''(x)=-((x^3+4)'*x^3-(x^3)'*(x+4))/x^6=-3x^3-3/x^4

исследуемые точки x=0 x =-1

ставим их на прямую проверяем промежутки

до -1 знак - функция вогнута

от -1 до 0 знак + функция выгнута

от 0 до + бесконечности - функция вогнута

точка x=-1 точка перегиба

рисуем график