Question

Составить уравнение эллипса, проходящего через точку М(; -1) и расстояние между фокусами которого равно 8. Построить кривую второго порядка

Answer 1

Уравнение эллипса (x²/a²) + (y²/b²) = 1.

Параметр с = 8/2 = 4. С другой стороны c² = a² - b².

Выразим b² =  a² - c² = a² - 16.

Подставим координаты точки М в уравнение эллипса с учётом a и b.

(13/a²) + (1/a² - 16) = 1.  Приведём к общему знаменателю.

13a² - 208 + a² = a^4 - 16a². Получили биквадратное уравнение:

a^4 - 30a² + 208 = 0.   Замена: a² = t.

t² - 30t + 208 = 0.    D = 900 - 832 = 68.

t1 = 15 + √17,    t2 = 15 - √17   этот корень меньше 16 - не принимаем (из условия b² = a² - 16).

Ответ: уравнение эллипса (x²(15 + √17)) + (y²/(√17 - 1)).

Answer 2

Для составления уравнения эллипса, проходящего через точку M(; -1) и с известным расстоянием между фокусами, мы можем использовать следующую формулу эллипса:

(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1,

где (h, k) - координаты центра эллипса, а a и b - полуоси эллипса (a > b).

Известно, что расстояние между фокусами равно 8. Для эллипса это расстояние задается формулой:

c = sqrt(a^2 - b^2),

где c - расстояние между фокусами.

Зная, что c = 8, мы можем выразить a^2 через b^2:

a^2 = b^2 + c^2.

Теперь у нас есть два уравнения: одно для точки М и другое для расстояния между фокусами:

1. (x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1,
2. a^2 = b^2 + c^2.

Для упрощения уравнения, давайте выберем центр эллипса в точке (0, 0). Тогда у нас получится:

1. x^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1,
2. a^2 = b^2 + c^2.

Так как эллипс проходит через точку M(; -1), подставим её координаты в уравнение:

(-1)^2/a^2 + (-1 - k)^2/b^2 = 1, 1/a^2 + (k + 1)^2/b^2 = 1.

Мы можем решить второе уравнение относительно k:

k^2 = b^2(1 - 1/a^2) - 2b^2 - 2b^2/a^2.

Теперь, используя полученное уравнение для k, мы можем сформировать окончательное уравнение эллипса:

x^2/a^2 + (y - (sqrt(b^2(1 - 1/a^2) - 2b^2 - 2b^2/a^2) - 1))^2/b^2 = 1.

Это будет уравнение эллипса, проходящего через точку M(; -1) и с известным расстоянием между фокусами 8.