Question

Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ox, если расстояние между фокусами равно 20, а эксцентриситет равен 5/6. С подробным решением пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: на фото

Answer 2

Уравнение эллипса с фокусами на оси Ox можно записать в виде:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,

где $a$ - большая полуось, $b$ - малая полуось.

Эксцентриситет $e$ связан с полуосями следующим образом:

$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$.

В данной задаче известно, что $e = \frac{5}{6}$ и $2a = 20$, так как расстояние между фокусами равно $2a$.

Мы можем использовать эти данные, чтобы найти значения $a$ и $b$:

Из уравнения эксцентриситета:

$\frac{5}{6} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$.

Возводим обе стороны в квадрат:

$\frac{25}{36} = \frac{a^2 - b^2}{a^2}$.

Далее, выразим $b^2$ через $a^2$:

$b^2 = a^2 - \frac{25}{36}a^2$, $b^2 = \frac{11}{36}a^2$.

Также у нас есть информация, что $2a = 20$, откуда $a = 10$.

Теперь мы можем найти $b^2$:

$b^2 = \frac{11}{36} \cdot 10^2$, $b^2 = \frac{1100}{36}$, $b^2 = \frac{275}{9}$.

Итак, у нас есть значения $a^2 = 100$ и $b^2 = \frac{275}{9}$. Теперь мы можем записать окончательное уравнение эллипса:

$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{\frac{275}{9}} = 1$.

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим обе стороны на $\frac{9}{275}$:

$\frac{9}{275} \cdot \frac{x^2}{100} + y^2 = \frac{9}{275}$.

$\frac{9x^2}{275 \cdot 100} + y^2 = \frac{9}{275}$.

$\frac{9x^2}{27500} + y^2 = \frac{9}{275}$.

Теперь у нас есть уравнение эллипса:

$\frac{9x^2}{27500} + y^2 = \frac{9}{275}$