Question

Помогите пж срочно надо докажите, что для все натуральных чисел n выполняется неравенство: 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/n^2 <2

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении

Пошаговое объяснение:

$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}$

Answer 2

Доказательство неравенства требует использования математической индукции. Давайте начнем:

Шаг 1: Проверка для базового случая n = 1: Подставим n = 1 в левую часть неравенства: 1 < 2 Это верно.

Шаг 2: Предположение индукции: Предположим, что неравенство выполняется для некоторого натурального числа k, то есть: 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/k^2 < 2

Шаг 3: Доказательство для k + 1: Теперь докажем, что неравенство выполняется и для k + 1: 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < 2

Давайте рассмотрим второе слагаемое, которое добавилось: 1/(k+1)^2

Поскольку k является натуральным числом, k + 1 также является натуральным числом, а значит, (k + 1) > k.

Теперь сравним это второе слагаемое с частичной суммой для k: 1/(k+1)^2 < 1/k^2

Теперь добавим это неравенство к предполагаемому неравенству индукции: 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < 2

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/k^2

Теперь заметим, что правая часть неравенства в последней строке - это именно предположенная нам частичная сумма до k. По предположению индукции мы знаем, что она меньше 2:

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/k^2 < 2

Таким образом, мы доказали, что: 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < 2

Исходя из принципа математической индукции, неравенство выполняется для всех натуральных чисел n.