Question

докажите что выражение 1009! •1010!•2019!•2020! не является квадратом натурального числа (n!=1•2•3•...•n)​

Answer 1

$1009!\cdot 1010!\cdot 2019!\cdot 2020!=1010\cdot (1009!)^2\cdot 2020\cdot (2019!)^2=\\ \\ \\ =1010\cdot 2\cdot 1010\cdot (1009!)^2\cdot (2019!)^2=2\cdot (1009!\cdot 2019!\cdot 1010)^2$

Из двойки извлечь полный квадрат никак, т.е. выражение не является квадратом.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $1009! \cdot 1010! \cdot 2019! \cdot 2020!$ не является квадратом натурального числа, мы воспользуемся следующими фактами:

1. Если число является квадратом натурального числа, то все его простые множители должны иметь четные степени.

2. В выражении $1009! \cdot 1010! \cdot 2019! \cdot 2020!$ содержится множество простых чисел, каждое из которых встречается в нем более одного раза, и каждое из них имеет четную степень в результате.

3. Факториал числа $n!$ содержит все простые числа от 2 до $n$ включительно.

Теперь, чтобы доказать, что данное выражение не является квадратом натурального числа, нужно показать, что хотя бы одно из простых чисел от 2 до 2020 содержится в выражении в нечетной степени.

Обратим внимание на числа 1009 и 1010:

• Число 1009 является простым числом, и оно входит в $1009!$, поскольку оно входит в диапазон от 2 до 1009 включительно.

• Число 1010 является произведением 2 и 505, т.е., $1010 = 2 \cdot 505$. Это означает, что 1010 содержит простое число 2 в нечетной степени (1 степень). Оно входит в $1010!$, поскольку оно входит в диапазон от 2 до 1010 включительно.

Таким образом, число 2 содержится в выражении $1009! \cdot 1010! \cdot 2019! \cdot 2020!$ в нечетной степени, и, следовательно, это выражение не является квадратом натурального числа.