Question

У Петра есть 5 клеток с кроликами (клетки стоят в один ряд). Известно, что в каждой клетке сидит хотя бы один кролик. Будем называть двух кроликов соседяли, если они сидят либо в одной клетке, либо в соседних. Оказалось, что у каждого кролика есть либо 3, либо 7 соседей. Сколько кроликов сидит в центральной клетке

Answer 1

Ответ:

4 кролика

Пошаговое объяснение:

1) Пусть в 1-ой клетке сидит 1 кролик. У него или 3 или 7 соседей.

Если у него 7 соседей, то во 2-ой клетке будет 7 кроликов.

Но в 3-ей клетке тоже сидит хотя бы 1 кролик.

Тогда у каждого из этих 7 кроликов будет хотя бы 8 соседей, что невозможно.

Значит, во 2-ой клетке сидит 3 кролика, и у каждого из них уже есть 3 соседа: 2 в своей клетке и 1 в 1-ой клетке.

Чтобы у них было по 7 соседей, в 3-ей клетке должно быть 4 кролика.

В 4-ой клетке должен быть 1 кролик, а в 5-ой 3 кролика.

Ответ 1: 4 кролика.

2) Пусть в 1-ой клетке сидят 2 кролика. У них или 3 или 7 соседей.

Если у них 7 соседей, то во 2 клетке сидят 6 кроликов.

Но в 3-ей клетке тоже должен сидеть хотя бы 1 кролик.

Тогда у каждого из этих 6 будет 8 соседей, что невозможно.

Значит, у 2 кроликов в 1-ой клетке по 3 соседа у каждого.

То есть во 2-ой клетке сидят 2 кролика, а в 3-ей клетке 4.

Таким образом, во 2 клетке у каждого 2+1+4=7 соседей.

А в 4-ой клетке сидят опять 2 кролика, и в 3-ей клетке у каждого кролика 2+3+2=7 соседей.

Ответ 2: 4 кролика.

3) Пусть в 1-ой клетке сидят 3 кролика.

Тогда во 2-ой клетке будет или 1 кролик (в 1-ой клетке у каждого по 3 соседа), или 5 кроликов (по 7 соседей).

Если во 2-ой клетке 1 кролик, то в 3-ей клетке 4 кролика (во 2-ой у кролика 3+4=7 соседей).

Тогда в 4-ой клетке должно быть 3 кролика (в 3-ей у каждого кролика 1+3+3=7 соседей).

И, наконец, в 5-ой клетке будет 1 кролик.

В 4-ой у каждого 4+2+1=7 соседей, а в 5-ой у него 3 соседа.

Пусть во 2-ой клетке 5 кроликов.

Но в 3-ей клетке должен быть хотя бы 1 кролик, а тогда во 2-ой клетке у каждого будет по 8 соседей, что невозможно.

Ответ 3: 4 кролика.

4) Больше 3 кроликов в 1-ой клетке быть не может, тогда во 2-ой клетке у каждого будет по 8 соседей, что невозможно.

Итак, мы получили, что в любом случае в 3-ей (средней) клетке сидит 4 кролика.

Причем только в одном случае расположение кроликов было симметричным относительно средней клетки.

Answer 2

Предположим, что центральная клетка содержит n кроликов. Поскольку каждый кролик имеет либо 3, либо 7 соседей, центральная клетка должна иметь 3 или 7 кроликов вокруг себя.

Если в центральной клетке находится 3 кролика, то вокруг нее должны быть еще 3 кролика, чтобы каждый из них имел 3 соседа. Таким образом, всего будет 6 кроликов вокруг центральной клетки.

Если в центральной клетке находится 7 кроликов, то вокруг нее должны быть еще 7 кроликов, чтобы каждый из них имел 7 соседей. Таким образом, всего будет 14 кроликов вокруг центральной клетки.

Таким образом, вариантов для количества кроликов в центральной клетке может быть 6 или 14.