Question

Найти высоту h пирамиды ABCD опущенную из вершины D на плоскость основания ABC A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1)

Answer 1

Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) .

Находим векторы АВ, АС и АД.

Вектор АВ   = (-4; 2; -1 ),  модуль равен √(16+4+1) = √21  ≈ 4,58258.  

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = (-6; 3; -4) =√61 ≈ 7,81025.

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-6; -1; -2) = √41 ≈ 6,40312.

Определяем векторное произведение АВ х АС.

i        j       k |      I       j

-4 2 -1 | -4  2

-6 3 -4 | -6   3  = -8i + 6j - 12k - 16j + 3i + 12k = -5i - 10j  = (-5; -10; 0).

Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) =  (-5; -10; 0),

АD =  (-6; -1; -2),    

(АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40.

Объем пирамиды  равен (1/6) этого произведения:

V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед.

Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.

S(ABC) = (1/2)*√((-5)² +  (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед.

h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777.

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для определения высоты пирамиды ABCD опущенной из вершины D на плоскость основания ABC можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите векторы AB, AC и AD, соединяющие вершину A с вершинами B, C и D соответственно: AB = B - A = (-1 - 3, 0 - (-2), 2 - 3) = (-4, 2, -1) AC = C - A = (-3 - 3, 1 - (-2), -1 - 3) = (-6, 3, -4) AD = D - A = (-3 - 3, -3 - (-2), 1 - 3) = (-6, -1, -2)

2. Найдите векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить вектор, перпендикулярный плоскости ABC: N = AB × AC = (-4, 2, -1) × (-6, 3, -4)

Вычислим векторное произведение:

N = ((2 * (-4) - 3 * 2), (-1 * (-6) - (-4) * 3), (-4 * 3 - (-1) * (-6))) = (-8 - 18, 6 - 12, -12 - 6) = (-26, -6, -18)

3. Найдите уравнение плоскости ABC, проходящей через точки A, B и C. Для этого можно использовать уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0. Зная нормальный вектор N и координаты одной из точек (например, A), можно определить A, B, C и D следующим образом: Пусть A = (-26), B = (-6), C = (-18). Подставим координаты точки A в уравнение плоскости: (-26)(3) + (-6)(-2) + (-18)(3) + D = 0 -78 + 12 - 54 + D = 0 -120 + D = 0 D = 120

   Таким образом, уравнение плоскости ABC имеет вид: -26x - 6y - 18z + 120 = 0.

4. Найдите расстояние от вершины D до плоскости ABC по формуле: h = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2) где (x, y, z) - координаты вершины D.

   Подставим значения A, B, C и D в формулу и координаты вершины D:

   h = |(-26)(-3) + (-6)(-3) + (-18)(1) + 120| / √((-26)^2 + (-6)^2 + (-18)^2) = |-78 + 18 - 18 + 120| / √(676 + 36 + 324) = |42| / √1036 = 42 / √1036

   Таким образом, высота пирамиды h, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна 42 / √1036 (приближенное значение).