Question

Докажите, что функция y=cos 2x/3 является периодической с периодом T=3П

Answer 1

Ответ:

$T(cosx)=2\pi\\\\y=cos\frac{2x}{3}, \; \; \; k=\frac{2}{3} \\ T_1=\frac{T}{|k|}=\frac{2\pi }{|\frac{2}{3}| }=\frac{2\pi }{\frac{2}{3} }=\frac{2\pi*3 }{2}=3\pi$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства периодичности функции y = cos(2x/3) с периодом T = 3π, мы должны показать, что функция y(x) возвращает одно и то же значение через каждый интервал длиной 3π.

Для начала, рассмотрим значение функции y = cos(2x/3) в точке x + T, где T = 3π:

y(x + T) = cos(2(x + T)/3)

Раскрывая скобки:

y(x + T) = cos(2x/3 + 2T/3)

Так как T = 3π, мы можем заменить T в выражении:

y(x + T) = cos(2x/3 + 2(3π)/3)

y(x + T) = cos(2x/3 + 2π)

Используя формулу суммы углов для косинуса, мы можем переписать это выражение:

y(x + T) = cos(2x/3)cos(2π) - sin(2x/3)sin(2π)

Так как cos(2π) = 1 и sin(2π) = 0, выражение упрощается:

y(x + T) = cos(2x/3)

Мы видим, что y(x + T) = y(x), что означает, что функция y = cos(2x/3) возвращает одно и то же значение через каждый интервал длиной 3π. Следовательно, функция является периодической с периодом T = 3π.