Question

Сколько раз нужно бросить монету чтобы с вероятность равны 0.95 можно было утверждать что частность выпадания герба будет заключена в интервале от 0,49 до 0.51?

Answer 1

При большом количестве бросков биномиальное распределение стремится к нормальному.

Вероятность 0.95 - это плюс минус 1.96 сигмы от матожидания - по таблице нормального распределения.

Матожидания понятно равно половине.

Дисперсия биномиального распределения - квадрат сигмы - равна npq.

p=q=0.5

Откуда

1.96 √(0.25n) = 0.01n

n = (1.96*0.5/0.01)^2= не менее 9604

Answer 2

Чтобы определить, сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что частота выпадения герба будет заключена в интервале от 0,49 до 0,51, мы можем использовать формулу для доверительного интервала пропорции.

Формула для расчета доверительного интервала пропорции имеет вид:

$\text{{доверительный интервал}} = \text{{среднее значение}} \pm \text{{критическое значение}} \times \text{{стандартная ошибка}}$

Где среднее значение - это оценка пропорции (в нашем случае 0,5), критическое значение зависит от уровня доверия (в нашем случае 0,95), а стандартная ошибка вычисляется как квадратный корень из $\frac{{\text{{оценка пропорции}} \times (1 - \text{{оценка пропорции}})}}{{n}}$, где $n$ - количество наблюдений.

Мы можем решить уравнение для $n$ и вычислить минимальное количество бросков монеты, чтобы получить достаточно точный доверительный интервал:

$0,51 - 0,5 = \text{{критическое значение}} \times \sqrt{\frac{{0,5 \times (1 - 0,5)}}{n}}$

$0,01 = \text{{критическое значение}} \times \sqrt{\frac{{0,25}}{n}}$

Далее, чтобы найти критическое значение, нам нужно определить значение z-статистики для уровня доверия 0,95. Для этого мы можем использовать таблицу значений Z или использовать функции распределения стандартного нормального распределения в программе для нахождения соответствующего значения.

Значение Z для уровня доверия 0,95 составляет примерно 1,96.

Подставив это значение в уравнение:

$0,01 = 1,96 \times \sqrt{\frac{{0,25}}{n}}$

Далее, можно решить это уравнение для $n$:

$\sqrt{\frac{{0,25}}{n}} = \frac{{0,01}}{{1,96}}$

$\frac{{0,25}}{n} = \left(\frac{{0,01}}{{1,96}}\right)^2$

$n = \frac{{0,25}}{{\left(\frac{{0,01}}{{1,96}}\right)^2}}$

$n \approx 9604$

Таким образом, чтобы с вероятностью 0,95 утверждать, что частота выпадения герба будет заключена в интервале от 0,49 до 0,51, вам потребуется бросить монету примерно 9604 раза.