Question

Даны точки A(-1;2;4), B(3;0;-1), C(2,6,1). Найти угол B

Answer 1

Ответ:

$\alpha = arccos(\frac{26}{3\sqrt{205}})$

Пошаговое объяснение:

Обозначим за α угол ABC;

Найдем векторы BA и BC:

BA = (-4, 2, 5); BC = (-1, 6, 2).

Скалярное произведение этих векторов находится как сумма произведений соответственных координат:

$(BA, BC) = (-4) * (-1) + 2 * 6 + 5 * 2 = 4 + 12 + 10 = 26.$ С другой стороны, по определению скалярного произедения векторов (BA, BC) = |BA| * |BC| * cos(α). Тогда $cos(\alpha) = \frac{(BA, BC)}{|BA|*|BC|} = \frac{26}{\sqrt{16 + 4 + 25} * \sqrt{1 + 36 + 4}} = \frac{26}{3\sqrt{205}}$.

Чтобы определить знак угла α, можно было бы найти еще и sin(α), используя "формулу" (в виде определителя она записывается для удобства, но, вообще говоря, такая запись не вполне корректна) $[a,b] = det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right]$, где [a, b] - векторное произведение векторов a и b, $a_{1}, a_{2}, ...$ - координаты векторов a и b, а i, j, k - базисные векторы. Но т.к. знак угла между данными векторами нам не важен, то мы можем сразу дать ответ:

$\alpha = arccos(\frac{26}{3\sqrt{205}})$.

Answer 2

Для нахождения угла B вам потребуется знать координаты векторов AB и BC. Затем вы сможете использовать формулу для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|)

где AB и BC - векторы, · обозначает скалярное произведение, |AB| и |BC| - длины векторов AB и BC соответственно, θ - искомый угол.

Давайте вычислим все необходимые значения:

Вектор AB = B - A = (3 - (-1), 0 - 2, (-1) - 4) = (4, -2, -5) Вектор BC = C - B = (2 - 3, 6 - 0, 1 - (-1)) = (-1, 6, 2)

Теперь найдем длины векторов AB и BC:

|AB| = √(4² + (-2)² + (-5)²) = √(16 + 4 + 25) = √45 = 3√5 |BC| = √((-1)² + 6² + 2²) = √(1 + 36 + 4) = √41

Вычислим скалярное произведение AB · BC:

AB · BC = 4 * (-1) + (-2) * 6 + (-5) * 2 = -4 - 12 - 10 = -26

Теперь можем найти cos(θ):

cos(θ) = (-26) / (3√5 * √41) = -26 / (3 * √(5 * 41)) = -26 / (3 * √(205)) = -26 / (3 * 5√5) = -26 / (15√5)

Искомый угол B будет равен arccos(cos(θ)). Так как мы знаем только значение cos(θ), мы не можем однозначно определить угол B без дополнительной информации.