Question

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость с использованием предела: int от 0 до +∞ xdx/(1+x)^2

Answer 1

Ответ:

расходится.

Пошаговое объяснение:

детали на фото.

Answer 2

Для вычисления несобственного интеграла или определения его расходимости, необходимо проанализировать поведение интеграла на бесконечности. Для данного интеграла:

∫[0, +∞] (x/(1+x)^2) dx

Мы можем использовать метод интегрирования по частям для упрощения интегранда:

Пусть u = x и dv = dx/(1+x)^2 Тогда du = dx и v = -1/(1+x)

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫[0, +∞] (x/(1+x)^2) dx = -x/(1+x) + ∫[0, +∞] dx/(1+x)

Вычислим каждое слагаемое отдельно.

1. Вычисление первого слагаемого:

Подставим пределы интегрирования:

lim[x→+∞] (-x/(1+x)) - lim[x→0] (-x/(1+x))

При x → +∞, дробь (-x/(1+x)) стремится к -1.

При x → 0, дробь (-x/(1+x)) стремится к 0.

Таким образом, первое слагаемое имеет значение -(-1) - 0 = 1.

2. Вычисление второго слагаемого:

∫[0, +∞] dx/(1+x)

Для вычисления этого интеграла, мы можем сделать замену переменной. Положим 1+x = t, тогда dx = dt.

При x = 0, t = 1, а при x = +∞, t = +∞.

∫[0, +∞] dx/(1+x) = ∫[1, +∞] dt/t

Интеграл ∫[1, +∞] dt/t является несобственным интегралом второго рода и называется расходящимся гармоническим рядом.

Таким образом, исходный интеграл расходится.

Итак, несобственный интеграл ∫[0, +∞] (x/(1+x)^2) dx расходится.