Question

Помогите вычислить интеграл пожалуйста[tex] 1) \int\limits( \frac{1}{x^3} - \frac{5}{x^6} + x^{-2} ) dx \\ 2) \int\limits \sqrt[4]{2x+1dx} \\ 3) \int\limits e^{x^4-2} x^3 dx \\ 4) \int\limits^{n/2}_b \frac{sinxdx}{(2-cosx^)^2} \\ 5) \int\limits^3_ {1} \, \frac{dx}{2x - 1} \\ 6) \int\limits^2_ {-1} \, (x^2 - 1)^3 xdx[/tex] Желательно с полной росписью

Answer 1

Ответ шесть.........

Answer 2

1. Начнем с интеграла: $\int \left(\frac{1}{x^3} - \frac{5}{x^6} + x^{-2}\right) dx$

Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int \frac{1}{x^3} dx = -\frac{1}{2x^2} + C_1$

$\int \frac{-5}{x^6} dx = \frac{5}{5x^5} + C_2 = -\frac{1}{x^5} + C_2$

$\int x^{-2} dx = -x^{-1} + C_3$

Таким образом, исходный интеграл равен:

$\int \left(\frac{1}{x^3} - \frac{5}{x^6} + x^{-2}\right) dx = -\frac{1}{2x^2} -\frac{1}{x^5} - x^{-1} + C$

где $C$ – константа интегрирования.

2. Рассмотрим интеграл: $\int \sqrt[4]{2x+1}dx$

Сделаем замену переменной $u = 2x+1$. Тогда $du = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}du$. Интеграл принимает вид:

$\frac{1}{2} \int u^{1/4} du = \frac{2}{5} u^{5/4} + C = \frac{2}{5}(2x+1)^{5/4} + C$

где $C$ – константа интегрирования.

3. Проинтегрируем функцию $f(x) = e^{x^4-2} x^3$:

Сделаем замену переменной $u = x^4 - 2$. Тогда $du = 4x^3dx$, откуда $x^3dx = \frac{1}{4}du$. Интеграл принимает вид:

$\frac{1}{4} \int e^u du = \frac{1}{4} e^{x^4-2} + C$

где $C$ – константа интегрирования.

4. Рассмотрим интеграл: $\int_b^{n/2} \frac{\sin x}{(2-\cos^2 x)^2} dx$

Сделаем замену переменной $u = \cos x$. Тогда $du = -\sin xdx$, откуда $\sin xdx = -du$. Интеграл принимает вид:

$-\int_{\cos b}^{\cos(n/2)} \frac{1}{(2-u^2)^2} du$

Для интегрирования воспользуемся методом частичных дробей. Представим интеграл в виде:

$$$$