Question

Бригада рабочих выполняет поставленную задачу за 15 дней. Если бригадир наймет девять дополнительных рабочих, и при этом в день бригада будет работать на 2 часа меньше, то работа будет выполнена за 12 дней. Если же бригадир уволит пятерых рабочих из первоначального состава бригады, то, чтобы окончить работу за 20 дней, бригаде придётся трудиться на 2 часа в день больше. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали первоначально? Пожалуйста, подробно!! Спасибо​

Answer 1

Первоначально в бригаде было x рабочих, которые работали по y часов в день.

Производительность всей бригады $\frac1{15}$ всей работы в день или $\frac1{15y}$ всей работы в час.

Производительность одного рабочего $\frac1{15xy}$ всей работы в час.

Если бригадир наймет девять дополнительных рабочих, и при этом в день бригада будет работать на 2 часа меньше, то работа будет выполнена за 12 дней, то есть

$\left(\frac1{15y}+\frac9{15xy}\right)\cdot(y-2)\cdot12=1\quad\quad\quad(1)$

Если бригадир уволит пятерых рабочих из первоначального состава бригады, то, чтобы окончить работу за 20 дней, бригаде придётся трудиться на 2 часа в день больше, то есть

$\left(\frac1{15y}-\frac5{15xy}\right)\cdot(y+2)\cdot20=1\quad\quad\quad(2)$

Составим и решим систему уравнений (1) и (2):

$\begin{cases}\left(\frac1{15y}+\frac9{15xy}\right)\cdot(y-2)\cdot12=1\\\\\left(\frac1{15y}-\frac5{15xy}\right)\cdot(y+2)\cdot20=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\left(\frac1{15y}+\frac9{15xy}\right)\cdot(12y-24)=1\\\\\left(\frac1{15y}-\frac5{15xy}\right)\cdot(20y+40)=1\end{cases}\Rightarrow$

$\Rightarrow\begin{cases}\frac{12}{15}+\frac{108}{15x}-\frac{24}{15y}-\frac{216}{15xy}=1\\\\\frac{20}{15}-\frac{100}{15x}+\frac{40}{15y}-\frac{200}{15xy}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac45+\frac{36}{5x}-\frac{8}{5y}-\frac{72}{5xy}=1\\\\\frac43-\frac{20}{3x}+\frac8{3y}-\frac{40}{3xy}=1\end{cases}\Rightarrow$

$\Rightarrow\begin{cases}\frac{4xy+36y-8x-72}{5xy}{}=1\\\\\frac{4xy-20y+8x-40}{3xy}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4xy+36y-8x-72=5xy\\\\4xy-20y+8x-40=3xy\end{cases}\Rightarrow\\\\\\\Rightarrow\begin{cases}xy=36y-8x-72\\xy=20y-8x+40\end{cases}$

Вычтём из первого уравнения второе:

$xy-xy=36y-20y-8x+8x-72-40\\0=16y-112\\16y=112\\y=7$

Подставим значение y в любое из двух уравнений систему (например, во второе) и вычислим x:

$7x=20\cdot7-8x+40\\15x=140+40\\15x=180\\x=12$

Тогда

$\begin{cases}x=12\\y=7\end{cases}$

Ответ: первоначально в бригаде было 12 рабочих, которые работали по 7 часов в день.

Answer 2

Давайте обозначим неизвестные величины:

Пусть Х - это первоначальное количество рабочих в бригаде. Пусть У - это количество часов работы в день для каждого рабочего.

Условие 1: Бригада выполняет задачу за 15 дней: В первоначальных условиях бригада состоит из X рабочих, и они работают по Y часов в день. Тогда общий объем работы (ОР) равен: ОР1 = X * Y * 15.

Условие 2: При добавлении 9 дополнительных рабочих и уменьшении рабочего дня на 2 часа, задача выполняется за 12 дней: Теперь бригада состоит из (X + 9) рабочих, и они работают по (Y - 2) часа в день. Тогда новый общий объем работы (ОР2) равен: ОР2 = (X + 9) * (Y - 2) * 12.

Условие 3: При увольнении 5 рабочих из первоначального состава и увеличении рабочего дня на 2 часа, задача выполняется за 20 дней: Теперь бригада состоит из (X - 5) рабочих, и они работают по (Y + 2) часа в день. Тогда новый общий объем работы (ОР3) равен: ОР3 = (X - 5) * (Y + 2) * 20.

Мы получили систему из трех уравнений, используя данные из условий:

1. X * Y * 15 = (X + 9) * (Y - 2) * 12
2. X * Y * 15 = (X - 5) * (Y + 2) * 20

Теперь решим эту систему уравнений.

1. X * Y * 15 = (X + 9) * (Y - 2) * 12 15XY = (12X + 108)(Y - 2) 15XY = 12XY - 24X + 108Y - 216 3XY = 24X - 108Y + 216 24X - 3XY = 108Y - 216 8X - XY = 36Y - 72 8X - 36Y = XY - 72

2. X * Y * 15 = (X - 5) * (Y + 2) * 20 15XY = (20X - 100)(Y + 2) 15XY = 20XY + 40X - 100Y - 200 20XY - 15XY = 40X - 100Y - 200 5XY = 40X - 100Y - 200 40X - 5XY = 100Y + 200

Теперь у нас есть система уравнений:

1. 8X - 36Y = XY - 72
2. 40X - 5XY = 100Y + 200

Теперь решим эту систему. Для удобства, домножим второе уравнение на 7:

1. 8X - 36Y = XY - 72
2. 280X - 35XY = 700Y + 1400

Теперь сложим оба уравнения:

(8X - 36Y) + (280X - 35XY) = (XY - 72) + (700Y + 1400)

288X - 35XY - 700Y = XY + 1328

Теперь перенесем все члены с X и Y на одну сторону уравнения:

288X - 35XY - XY - 700Y = 1328

Теперь вынесем X и Y за скобку:

X(288 - 35Y - Y) - 700Y = 1328

X(288 - 36Y) - 700Y = 1328

Теперь разделим обе стороны на (288 - 36Y):

X = (1328 + 700Y) / (288 - 36Y)

Теперь можем подставить значение X в любое из первоначальных уравнений, например, в уравнение 1:

8X - 36Y = XY - 72

8 * ((1328 + 700Y) / (288 - 36Y)) - 36Y = ((1328 + 700Y) / (288 - 36Y)) * Y - 72

Теперь, найдя значение Y, можем вычислить значение X. Затем найдем значение общего объема работы ОР1 = X * Y * 15, чтобы найти сколько работы выполняет бригада за 15 дней.

Таким образом, мы получим значения первоначального количества рабочих и количества часов работы в день.