Question

Бригада рабочих выполняет поставленную задачу за `15` дней. Если бригадир наймёт девять дополнительных рабочих, и при этом в день бригада будет работать на `2` часа меньше, то работа будет выполнена за `12` дней. Если же бригадир уволит пятерых рабочих из первоначального состава бригады, то, чтобы окончить работу за `20` дней, бригаде придётся трудиться на `2` часа в день больше. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали первоначально?

Answer 1

Ответ:

12 человек, в день работали 7 часов

Пошаговое объяснение:

Пусть рабочих первоначально было x человек в бригаде, причем в день они работали t часов. Получается, что первоначально бригада работала в течение 15t часов, то есть за 1 час выполнялась 1÷(15t) всей работы (мы приняли всю работу за 1), а производительность каждого рабочего была 1÷(15tx).

Если бригадир наймет 9 дополнительных рабочих, то у нас их будет (x + 9), работать они будут в течение 12 дней, работая каждый день на 2 ч меньше, то есть (t - 2). Получим уравнение:

$\dfrac{(x + 9) \cdot 12 \cdot (t - 2)}{15tx} = 1$

Если бригадир уволит 5 рабочих, то у нас их будет (x - 5), работать они будут в течение 20 дней по (t + 2) часа. Получим уравнение:

$\dfrac{(x - 5) \cdot 20 \cdot (t + 2)}{15tx} = 1$

В итоге, умножая каждое уравнение на знаменатель 15tx получаем систему:

$\left\{ \begin{array}{ll}12(x+9)(t-2)=15tx\\20(x-5)(t+2)=15tx\end{array}$

Сокращаем обе части 1-го уравнения на 3, а 2-го - на 5 получаем:

$\left\{ \begin{array}{ll}4(x+9)(t-2)=5tx\\4(x-5)(t+2)=3tx\end{array}$

Раскрываем скобки:

$\left\{ \begin{array}{ll}4xt-8x+36t-72=5xt\\4xt+8x-20t-40=3xt\end{array}$

Упрощаем:

$\left\{ \begin{array}{ll}xt+8x-36t+72=0\\xt+8x-20t-40=0\end{array}$

Вычитая из нижнего уравнения верхнее, получаем:

16t - 112 = 0

t = 112 ÷ 16

t = 7 часов

Подставляем найденное t в нижнее уравнение, получаем:

7x + 8x - 140 - 40 = 0

15x = 180

x = 180 ÷ 15

x = 12 человек

Answer 2

Предположим, что исходно в бригаде было x рабочих, и они работали по y часов в день.

Из условия задачи мы имеем следующие данные:

1. Когда бригада состояла из x рабочих и работала по y часов в день, они закончили задачу за 15 дней.

2. Когда бригадир нанял 9 дополнительных рабочих и время работы сократилось на 2 часа в день, они закончили задачу за 12 дней.

3. Когда бригадир уволил 5 рабочих из первоначального состава бригады и время работы увеличилось на 2 часа в день, они закончили задачу за 20 дней.

Мы можем использовать систему уравнений, чтобы решить эту задачу.

Из первых двух условий мы можем составить следующую систему уравнений:

15xy = 12(x + 9)(y - 2)

Теперь используем третье условие для составления второго уравнения:

20xy = 15(x - 5)(y + 2)

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения x и y, которые представляют количество рабочих и количество часов работы в день в исходной ситуации.

Давайте решим эту систему уравнений:

15xy = 12(x + 9)(y - 2) -- (1) 20xy = 15(x - 5)(y + 2) -- (2)

Раскроем скобки:

15xy = 12(xy + 9y - 2x - 18) 20xy = 15(xy - 5y + 2x - 10)

Упростим уравнения:

15xy = 12xy + 108y - 24x - 216 -- (3) 20xy = 15xy - 75y + 30x - 150 -- (4)

Вычтем уравнение (4) из уравнения (3):

15xy - 20xy = 12xy + 108y - 24x - 216 - (15xy - 75y + 30x - 150)

-5xy = 12xy + 108y - 24x - 216 - 15xy + 75y - 30x + 150

-5xy = -3xy + 183y - 54x - 66 -- (5)

Теперь выразим xy в уравнении (5):

-5xy = -3xy + 183y - 54x - 66

-2xy = 183y - 54x - 66

2xy = 54x - 183y + 66 -- (6)

Теперь решим уравнения (3) и (6) как систему уравнений:

-5xy = 12xy + 108y - 24x - 216 -- (3) 2xy = 54x - 183y + 66 -- (6)

Умножим уравнение (6) на 6:

12xy = 324x - 1098y + 396 -- (7)

Теперь выразим 12xy в уравнении (3) через уравнение (7):

-5xy = 12xy + 108y - 24x - 216 -- (3) -5xy = 324x - 1098y + 396 + 108y - 24x - 216

-5xy = 300x - 990y + 180 -- (8)

Теперь сложим уравнения (7) и (8):

-5xy + 12xy = 300x - 990y + 180 + 324x - 1098y + 396

7xy = 624x - 2088y + 576

Теперь выразим x через y:

7xy = 624x - 2088y + 576

624x - 7xy = 2088y - 576

x(624 - 7y) = 2088y - 576

x = (2088y - 576) / (624 - 7y) -- (9)

Теперь мы можем найти значения x и y, которые удовлетворяют этой системе уравнений.

Для простоты вычислений, мы можем воспользоваться компьютером или калькулятором для получения конкретных значений x и y.