Question

Помогите найти производную (lnx) ^sinx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения производной функции $(\ln x)^{\sin x}$, воспользуемся правилом дифференцирования функции вида $f(x)^{g(x)}$, где $f(x)$ и $g(x)$ - функции от $x$:

$\frac{d}{dx} \left(f(x)^{g(x)}\right) = f(x)^{g(x)} \cdot \left( \frac{d}{dx} (g(x) \cdot \ln f(x)) \right)$

Теперь применим это правило к нашей функции, где $f(x) = \ln x$ и $g(x) = \sin x$:

$\frac{d}{dx} \left((\ln x)^{\sin x}\right) = (\ln x)^{\sin x} \cdot \left( \frac{d}{dx} (\sin x \cdot \ln(\ln x)) \right)$

Теперь найдем производные компонентов:

1. $\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$.
2. $\frac{d}{dx} (\ln(\ln x)) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \cdot \ln x}$ (используем цепное правило для производной).

Теперь, подставим значения обратно в исходное выражение:

$\frac{d}{dx} \left((\ln x)^{\sin x}\right) = (\ln x)^{\sin x} \cdot (\cos x \cdot \ln(\ln x))$

Таким образом, производная функции $(\ln x)^{\sin x}$ равна $(\ln x)^{\sin x} \cdot (\cos x \cdot \ln(\ln x))$.