Question

Найди наибольшее и наименьшее значение функции y(x)=4⋅sinx−19⋅cosx.

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции √377 и наименьшее значение функции -√377

Пошаговое объяснение:

y(x)=4⋅sinx−19⋅cosx

Определим следующее число:

а²=4²+19²=377 или а = √377

Так как имеет место равенство

(4/√377)²+(19/√377)²=16/377 + 361/377= 377/377=1,

то положим cosα=4/√377. Тогда из равенства, то есть основного тригонометрического тождества можем получить, что

sinα=19/√377.

Поэтому

$y(x)=4*sinx -19*cosx=\sqrt{377} *(\frac{4}{\sqrt{377} } *sinx-\frac{19}{\sqrt{377} }*cosx)=$

$=\sqrt{377} *(cos\alpha *sinx-sin\alpha *cosx)=\sqrt{377} *sin(x-\alpha)$

Наибольшее значение функции √377 и наименьшее значение функции -√377, поскольку синус принимает значения от −1 до 1.

Answer 2

To find the maximum and minimum values of the function $y(x) = 4\sin(x) - 19\cos(x)$, we can use calculus. To locate the extreme points, we'll first find the derivative of the function with respect to $x$ and then set it equal to zero to solve for critical points.

Step 1: Find the derivative of $y(x)$: $y'(x) = 4\cos(x) + 19\sin(x)$

Step 2: Find critical points: To find critical points, set $y'(x) = 0$ and solve for $x$: $4\cos(x) + 19\sin(x) = 0$

Step 3: Solve for $x$: Divide through by $\cos(x)$ (assuming $\cos(x) \neq 0$): $4 + 19\tan(x) = 0$ $\tan(x) = -\frac{4}{19}$

Using a calculator, you can find two solutions for $x$ within the range $-\pi \leq x \leq \pi$: $x_1 \approx -1.321$ (radians) $x_2 \approx 1.821$ (radians)

Step 4: Find the corresponding $y$ values: To find the corresponding $y$ values, plug $x_1$ and $x_2$ back into the original function $y(x)$: $y(-1.321) \approx 4\sin(-1.321) - 19\cos(-1.321) \approx -19.971$ $y(1.821) \approx 4\sin(1.821) - 19\cos(1.821) \approx 20.621$

Step 5: Determine the maximum and minimum values: Since $y(-1.321)$ is the smaller value and $y(1.821)$ is the larger value, the minimum and maximum values of the function are: Minimum value: $y_{\text{min}} = -19.971$ Maximum value: $y_{\text{max}} = 20.621$