Question

В партии из 10 изделий 4 имеют скрытые дефекты. Наугад выбраны 3 изделия. Пусть X - число бракованных изделий среди выбранных. Напишите закон распределения для случайной величины X и вычислите ее математическое ожидание.

Answer 1

В партии всего 10 - 4 = 6 хороших деталей.

1) Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей нет дефектных.

$P(X=0)=\dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{5}{9}\cdot \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{6}$

2) Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей одна дефектная.

Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 10: $C^3_{10}=\dfrac{10!}{3!7!}=120$

Выбрать две хороших деталей можно $C^2_6=\dfrac{6!}{2!4!}=15$ способами, а одну дефектную деталь - $C^1_4=4$ способами. По правилу произведения, всего $15\cdot 4=60$ способов - число благоприятных исходов.

$P(X=1)=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$

3) Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 деталей 2 дефектных.

Выбрать одну хорошую деталь можно $C^1_6=6$ способами, а две дефектных - $C^2_4=\dfrac{4!}{2!2!}=6$ способами. Всего таких способов: 6 * 6 = 36

$P(X=2)=\dfrac{36}{120}=\dfrac{3}{10}$

4) Найдем вероятность того, что все выбранные детали дефектные.

$P(X=3)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{30}$

Закон распределения случайной величины:

Xi       0         1           2           3

Pi      1/6       1/2        3/10       1/30

(Запишите это именно в виде таблицы).

Математическое ожидание случайной величины X:

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=0\cdot\dfrac{1}{6}+1\cdot\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{3}{10}+3\cdot\dfrac{1}{30}=1{,}2$

Answer 2

Для определения закона распределения случайной величины X, которая представляет собой число бракованных изделий среди выбранных трех, мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение используется для моделирования бинарных событий с фиксированным числом испытаний и вероятностью успеха в каждом испытании.

В данном случае, число испытаний равно 3 (выбираются 3 изделия), вероятность успеха (выбор бракованного изделия) в каждом испытании равна 4 из 10, то есть 4/10 = 0.4.

Таким образом, закон распределения для случайной величины X будет выглядеть следующим образом:

P(X = k) = C(3, k) * (0.4)^k * (1 - 0.4)^(3 - k),

где C(3, k) обозначает число сочетаний из 3 по k (k-элементных подмножеств из 3 элементов), а (0.4)^k и (1 - 0.4)^(3 - k) соответствуют вероятностям успеха и неуспеха соответственно.

Теперь вычислим математическое ожидание случайной величины X.

Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины X в биномиальном распределении можно найти по формуле:

E(X) = n * p,

где n - число испытаний (3) и p - вероятность успеха в каждом испытании (0.4).

Подставляя значения, получаем:

E(X) = 3 * 0.4 = 1.2.

Таким образом, математическое ожидание случайной величины X равно 1.2.