Question

Найдите наименьшее значение функции y=9+пи*√3–3x√3–6cosx на отрезке [0 ; Пи/2]​

Answer 1

$y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3x\sqrt{3} - 6\cos x$

$x \in \bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

$y' = (9 + \pi \sqrt{3} - 3x\sqrt{3} - 6\cos x)' = 3\sqrt{3} + 6\sin x$

Найдем критические точки функции:

$3\sqrt{3} + 6\sin x = 0\\\\6\sin x = 3\sqrt{3}\\\\\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\\x = (-1)^{n} \arcsin \bigg(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bigg) + \pi n, \ n \in Z\\\\x = (-1)^{n} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in Z$

Как видим, таких критических точек - множество. Определим некоторые из них, которые принадлежат отрезку $\bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$. Для этого будем брать всевозможные целые значения $n:$

Пусть $n = 0$. Тогда $x = (-1)^{0} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \dfrac{\pi}{3} \in \bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

Пусть $n = 1$. Тогда $x = (-1)^{1} \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = -\dfrac{\pi}{3} + \pi = \dfrac{2\pi}{3} \notin \bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

Только одно значение $n$, при котором данные критические точки входят в промежуток $\bigg[0; \ \dfrac{\pi}{2} \bigg]$

Итак, только на одном из трех вариантов: $x = 0; \ x = \dfrac{\pi}{3}; \ x = \dfrac{\pi}{2}$ заданная функция может принимать наименьшее значение. Вычислим ее значение в этих трех точках, зная их абсциссы, и найдем наименьшее:

Если $x = 0$, то $y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3\cdot 0 \cdot \sqrt{3} - 6\cos 0 = 9 + \pi \sqrt{3} - 6 = 3 + \pi \sqrt{3}$

Если $x = \dfrac{\pi}{3}$, то $y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3\cdot \dfrac{\pi}{3} \cdot \sqrt{3} - 6\cos \dfrac{\pi}{3} = 9 + \pi \sqrt{3} - \pi \sqrt{3} - 3 = 6$

Если $x = \dfrac{\pi}{2}$, то $y = 9 + \pi \sqrt{3} - 3\cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot \sqrt{3} - 6\cos \dfrac{\pi}{2} = 9 + \pi \sqrt{3} - \dfrac{3\pi \sqrt{3}}{2} - 0 = 9 - \dfrac{\pi \sqrt{3}}{2}$

Для того чтобы определить наименьшее из трех, можно подставить приблизительное значение числа $\pi$, а именно 3,14. Видим, что наименьшим значением функции является точка $\bigg(\dfrac{\pi}{3} ; \ 6 \bigg)$

Ответ: $></p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции y = 9 + π√3 - 3x√3 - 6cos(x) на отрезке [0, π/2], необходимо найти точку экстремума функции на этом отрезке. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y' = -3√3 + 6sin(x) = 0

Решим это уравнение:

6sin(x) = 3√3 sin(x) = √3/2

На отрезке [0, π/2] синус имеет положительное значение только при x = π/3. Подставим эту точку в исходную функцию:

y = 9 + π√3 - 3(π/3)√3 - 6cos(π/3) = 9 + π√3 - π√3 - 6(1/2) = 9 - 3/2 = 16.5

Таким образом, наименьшее значение функции y равно 16.5 и достигается при x = π/3.