Question

Xdx/(2x^2+x+5) неопределенный интеграл

Answer 1

$\displaystyle \int \dfrac{xdx}{2x^2+x+5}=\int\dfrac{4x+1}{4(2x^2+x+5)}dx-\int\dfrac{1}{4(2x^2+x+5)}dx=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4}\int\dfrac{(4x+1)dx}{2x^2+x+5}-\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{2x^2+x+5}=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{d(2x^2+x+5)}{2x^2+x+5}-\\ \\ \\ -\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dx}{(\sqrt{2}x+\frac{1}{2\sqrt{2}})^2+\frac{39}{8}}=\dfrac{1}{4}\ln\left|2x^2+x+5\right|-\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{39}}{\rm arctg}\dfrac{4x+1}{\sqrt{39}}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4}\ln\left|2x^2+x+5\right|-\dfrac{1}{2\sqrt{39}}{\rm arctg}\dfrac{4x+1}{\sqrt{39}}+C$

Answer 2

Для вычисления неопределенного интеграла ∫(xdx)/(2x^2 + x + 5), мы можем воспользоваться методом частичных дробей. Давайте разложим дробь на простые дроби.

Сначала найдем корни знаменателя 2x^2 + x + 5. Решим уравнение 2x^2 + x + 5 = 0 с помощью квадратного уравнения или метода дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(5) = 1 - 40 = -39

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Значит, знаменатель не факторизуется на действительные линейные множители.

Теперь представим неизвестную функцию x в виде суммы двух простых дробей:

x / (2x^2 + x + 5) = A / (x - r1) + B / (x - r2),

где r1 и r2 - комплексные корни знаменателя, а A и B - коэффициенты, которые мы должны определить.

Домножим обе части уравнения на знаменатель (2x^2 + x + 5):

x = A(x - r2) + B(x - r1).

Раскроем скобки:

x = Ax - Ar2 + Bx - Br1.

Сгруппируем одинаковые члены:

(1 - A - B)x - Ar2 - Br1 = 0.

Так как это равенство должно выполняться для всех значений x, то коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равны между собой:

1 - A - B = 0, -Ar2 - Br1 = 0.

Решим эту систему уравнений относительно A и B. Поскольку r1 и r2 - комплексные корни, то они не равны друг другу и A и B не равны нулю одновременно.

Из второго уравнения получим:

-Ar2 = Br1.

Разделим обе части на r1:

-A/r1 = B.

Подставим это в первое уравнение:

1 - A - (-A/r1) = 0.

Раскроем скобки:

1 - A + A/r1 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(r1 - 1)/r1 = A.

Таким образом, получаем, что A = (r1 - 1)/r1.

Теперь найдем значение B:

-B/r2 = (r1 - 1)/r1.

Умножим обе части на r1*r2:

-B(r1*r2)/r2 = (r1 - 1)r1.

Сократим:

-B(r1*r2) = (r1 - 1)r1.

Разделим обе части на (r1 - 1):

-B(r1*r2)/(r1 - 1) = r1.

Таким образом, получаем, что B = -r1/(r1 - 1).

Теперь, когда мы определили значения A и B, можем записать исходную дробь в виде суммы простых дробей:

x / (2x^2 + x + 5) = (r1 - 1)/r1 * (1 / (x - r1)) - r1/(r1 - 1) * (1 / (x - r2)).

Теперь мы можем проинтегрировать каждую простую дробь по отдельности:

∫(x dx) / (2x^2 + x + 5) = ∫(r1 - 1)/r1 * (1 / (x - r1)) dx - ∫r1/(r1 - 1) * (1 / (x - r2)) dx.

Первый интеграл легко интегрируется и дает:

∫(r1 - 1)/r1 * (1 / (x - r1)) dx = (r1 - 1)/r1 * ln |x - r1| + C1.

Второй интеграл также может быть интегрирован:

∫r1/(r1 - 1) * (1 / (x - r2)) dx = r1/(r1 - 1) * ln |x - r2| + C2.

Где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Таким образом, окончательный результат неопределенного интеграла ∫(xdx)/(2x^2 + x + 5) равен:

(r1 - 1)/r1 * ln |x - r1| - r1/(r1 - 1) * ln |x - r2| + C,

где C - постоянная интегрирования.