Question

Log^2 (2) (cos^2x)-22log2(cosx)-12=0 решить и указать корни этого уравнения на отрезке [pi/2; 2pi]

Answer 1

Ответ: pi/4 + 2pin, n є Z; -pi/4

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте введем замену переменной. Пусть u = cos^2(x). Тогда уравнение примет следующий вид:

log^2(2)(u) - 22log2(u) - 12 = 0.

Давайте обозначим log2(u) как t. Тогда уравнение станет:

log^2(2)(2^t) - 22t - 12 = 0.

Применим свойство логарифма: loga(a^b) = b. Получим:

t^2 - 22t - 12 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться квадратным корнем или формулой:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 1, b = -22 и c = -12. Подставим значения:

t = (22 ± √((-22)^2 - 41(-12))) / (2*1).

Теперь вычислим значение подкоренного выражения:

t = (22 ± √(484 + 48)) / 2 = (22 ± √532) / 2 = (22 ± 2√133) / 2 = 11 ± √133.

Таким образом, получаем два возможных значения для t:

t1 = 11 + √133, t2 = 11 - √133.

Теперь найдем значения u, используя обратную замену:

u1 = 2^(11 + √133), u2 = 2^(11 - √133).

Для нахождения значений u1 и u2 возьмем десятичные логарифмы основания 2:

u1 ≈ 2^(11 + √133), u2 ≈ 2^(11 - √133).

Наконец, найдем значения x, используя обратную замену:

x1 = arccos(√u1), x2 = arccos(√u2).

Теперь мы получили два значения x, которые являются корнями исходного уравнения на отрезке [π/2, 2π].