Question

Найти производную функции y=3^arcsin 2x

Answer 1

Ответ:

y=3^arcsin2x y'=?

y'=(3^arcsin2x)'*(arcsin2x)'*(2x)'

y'=(3^arcsin2x)*ln(arcsin2x)*(1/√1-4x²)*2

Пошаговое объяснение:

С каждого существующего аргумента нужно постепенно брать производную, и в итоге всё умножить

Answer 2

Для нахождения производной функции y = 3^arcsin(2x) мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

Правило цепной дифференциации утверждает, что производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).

В нашем случае внешняя функция - это возведение в степень 3, а внутренняя функция - arcsin(2x).

Давайте найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внешней функции: f'(u) = 3^u * ln(3), где u - это аргумент внешней функции.

Производная внутренней функции: g'(x) = d/dx (arcsin(2x))

Для вычисления производной arcsin(2x) по x, мы можем использовать правило дифференцирования для обратной функции.

Правило для обратной функции утверждает, что производная обратной функции f^(-1)(x) равна 1 / f'(f^(-1)(x)), где f^(-1)(x) - это обратная функция к f(x).

В нашем случае f(x) = arcsin(2x), поэтому f^(-1)(x) = sin(x), и f'(x) = d/dx (arcsin(2x)).

Поэтому производная внутренней функции g'(x) равна: g'(x) = 1 / (d/dx (arcsin(2x))) = 1 / (1 / sqrt(1 - (2x)^2) * 2)

Теперь мы можем найти производную функции y = 3^arcsin(2x) с использованием правила цепной дифференциации:

y' = f'(g(x)) * g'(x) = (3^arcsin(2x) * ln(3)) * (1 / (1 / sqrt(1 - (2x)^2) * 2)) = 3^arcsin(2x) * ln(3) * sqrt(1 - (2x)^2) / 2

Таким образом, производная функции y = 3^arcsin(2x) равна 3^arcsin(2x) * ln(3) * sqrt(1 - (2x)^2) / 2.