Question

F(x)=x^2-16 Помогите исследовать функцию производной.

Answer 1

Держи. Незнаю правильно ли, но хоть что-то....

Answer 2

Для исследования функции $f(x) = x^2 - 16$ сначала найдем ее производную $f'(x)$ и затем проведем анализ производной, чтобы выяснить поведение и характеристики функции.

Шаг 1: Найдем производную $f'(x)$ функции $f(x)$: $f(x) = x^2 - 16$

Для нахождения производной применим правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(16)$ $f'(x) = 2x - 0$ $f'(x) = 2x$

Шаг 2: Анализ производной $f'(x)$:

Теперь, когда у нас есть производная, рассмотрим ее свойства:

1. Нули производной: Чтобы найти нули производной, приравняем ее к нулю и решим уравнение: $2x = 0$ $x = 0$

Таким образом, у производной есть один ноль при $x = 0$.

2. Знак производной: Из производной $f'(x) = 2x$ мы видим, что она положительна для всех $x > 0$ и отрицательна для всех $x < 0$. Это означает, что функция $f(x)$ возрастает на интервале $x > 0$ и убывает на интервале $x < 0$.

3. Точки экстремума: Точки экстремума функции $f(x)$ могут находиться только там, где производная равна нулю или не существует. Мы уже нашли, что производная имеет ноль при $x = 0$. Давайте проверим, является ли это точкой экстремума, используя вторую производную:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(2x) = 2$

$f''(0) = 2 > 0$

Так как вторая производная положительна при $x = 0$, это указывает на то, что это локальный минимум.

4. Интервалы выпуклости и вогнутости: Из второй производной $f''(x) = 2 > 0$ следует, что функция является выпуклой (выгнутой вверх) на всей числовой прямой.

Шаг 3: Построение графика функции:

Теперь давайте построим график функции $f(x) = x^2 - 16$ для лучшего представления о ее поведении:

На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке (0, -16) и является выпуклой (выгнутой вверх) на всей числовой прямой.

Итак, функция $f(x) = x^2 - 16$ возрастает на интервале $x > 0$, убывает на интервале $x < 0$, имеет локальный минимум в точке (0, -16) и является выпуклой на всей числовой прямой.