Question

1) Известно, что для некоторого натурального числа n каждое из чисел 3n - 1 и n -10 делиться на простое число p. Найдите число p. 2) В клетках таблицы 3 на 3 Петя расставил числа 1,2,3..9 (каждое по одному разу), а затем посчитал суммы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей. Могли ли это оказаться числа 13, 14...20?

Answer 1

1) Если каждое из чисел 3n - 1 и n - 10 делится на простое число p, то и 3n-1-3(n-10)=3n-1-3n+30=29 делится на p. Т.к. 29 простое, то p=29.

2) Сумма всех чисел в таблице равна (1+9)*9/2=45

Если сложить все суммы из условия, мы получим 2*(сумма всех чисел в таблице) + (сумма элементов на двух диагоналях [центральный элемент посчитан 2 раза - по разу для каждой диагонали])

Эта сумма равна (13+20)*8/2=33*4=132

Тогда (сумма элементов на двух диагоналях) = 132-2*45=132-90=42.

Но это больше, чем сумма двух чисел из представленных в условии, т.к. 20+19=39<42.

А значит ответ "нет, не могли"

Answer 2

1. Чтобы найти число p, которое делит и 3n - 1, и n - 10, нужно рассмотреть два выражения и найти их наименьший общий делитель (НОД). Обозначим их как a и b:

a = 3n - 1 b = n - 10

Найдем НОД(a, b):

НОД(a, b) = НОД(3n - 1, n - 10)

Для нахождения НОД, воспользуемся алгоритмом Евклида:

Шаг 1: 3n - 1 = (n - 10) * 2 + (18)

Шаг 2: n - 10 = 18 * 1 + 8

Шаг 3: 18 = 8 * 2 + 2

Шаг 4: 8 = 2 * 4 + 0

На данном этапе получили остаток 0, что означает, что на последнем шаге получили НОД(8, 2) = 2.

Итак, число p равно 2.

2. Для того чтобы определить, могли ли числа 13, 14, ..., 20 быть суммами строк, столбцов и диагоналей в таблице 3x3, нужно проверить, есть ли перестановка чисел от 1 до 9, которая бы привела к таким суммам.

Давайте посмотрим, какие суммы можно получить для строк, столбцов и диагоналей:

Суммы строк: 1 + 2 + 3 = 6 4 + 5 + 6 = 15 7 + 8 + 9 = 24

Суммы столбцов: 1 + 4 + 7 = 12 2 + 5 + 8 = 15 3 + 6 + 9 = 18

Суммы диагоналей: 1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15

Таким образом, в данной таблице невозможно получить суммы 13, 14, ..., 20, так как наибольшая возможная сумма равна 24 (сумма элементов всех клеток).