Question

Найдите при каких значениях а функция f(x)=1/3x^3-1/2ax^2+9x-6 возрастает на R

Answer 1

Если функция возрастает на всей числовой прямой, то ее производная всегда положительна.

$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}ax^2+9x-6\\\\ f'(x)=x^2-ax+9 > 0$

Неравенство $x^2-ax+9>0$ должно выполняться при любом значении $x$. Оно верно при любом $x$ в том случае, если $D < 0$.

$D = b^2-4ac=(-a)^2-4\cdot1\cdot9=a^2-36>0$

$(a-6)(a+6)>0\Rightarrow a\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)$

ОТВЕТ: $a\in(-\infty;-6)\cup(6;+\infty)$

Answer 2

Чтобы найти значения параметра a, при которых функция f(x) возрастает на всей числовой прямой R, нужно выполнить два условия:

1. Первая производная f'(x) должна быть положительной для всех значений x на R.
2. Вторая производная f''(x) должна быть положительной или равной нулю для всех значений x на R (вторая производная показывает, как меняется скорость изменения функции).

Шаг 1: Найдем первую производную функции f(x): f'(x) = d/dx (1/3x^3 - 1/2ax^2 + 9x - 6) f'(x) = x^2 - ax + 9

Шаг 2: Установим, что f'(x) должна быть положительной для всех x на R: x^2 - ax + 9 > 0

Шаг 3: Найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = d/dx (x^2 - ax + 9) f''(x) = 2x - a

Шаг 4: Установим, что f''(x) должна быть положительной или равной нулю для всех x на R: 2x - a >= 0 a <= 2x

Теперь, чтобы определить диапазон значений параметра a, при которых f(x) возрастает на R, нужно объединить условия из Шагов 2 и 4:

1. x^2 - ax + 9 > 0
2. a <= 2x

Важно заметить, что эти условия должны выполняться одновременно для любого x на R.

Для удобства рассмотрим области возможных значений параметра a в зависимости от знаков выражения x^2 - ax + 9:

1. Когда у выражения x^2 - ax + 9 нет корней (дискриминант отрицателен): a^2 - 419 < 0 a^2 - 36 < 0 |a| < 6

2. Когда у выражения x^2 - ax + 9 есть один корень (дискриминант равен нулю): a^2 - 419 = 0 a^2 - 36 = 0 a = ±6

3. Когда у выражения x^2 - ax + 9 есть два различных корня (дискриминант положителен): a^2 - 419 > 0 a^2 - 36 > 0 |a| > 6

Таким образом, мы получили три области возможных значений параметра a:

1. a < -6
2. -6 <= a <= 6
3. a > 6

В этих трех интервалах функция f(x) будет возрастать на всем множестве действительных чисел R.