Question

Найти частое решение дифференциального уравнения dy=(x^2+5x)dx если y=2,при x=0

Answer 1

$dy=(x^2+5x)\, dx\; \; ,\; \; \; y(0)=2\\\\\int dy=\int (x^2+5x)\, dx\\\\y=\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+C\\\\y(0)=2:\; 2=\frac{0}{3}+\frac{0}{2}+C\; \; \to \; \; C=2\\\\\underline {y=\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+2}$

Answer 2

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, нужно проинтегрировать обе стороны уравнения. В данном случае у нас имеется дифференциальное уравнение первого порядка. Перепишем его в виде:

dy = (x^2 + 5x)dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫dy = ∫(x^2 + 5x)dx

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

∫dy = ∫x^2 dx + ∫5x dx

Интегралы:

y = (x^3)/3 + (5x^2)/2 + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь нам дано начальное условие y = 2 при x = 0. Подставим это условие и найдем значение постоянной C:

2 = (0^3)/3 + (5 * 0^2)/2 + C 2 = 0 + 0 + C C = 2

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием будет:

y = (x^3)/3 + (5x^2)/2 + 2