Question

При каких действительных значениях α число z=(cosπα - isinπα)^8 является: 1) действительным; 2) чисто мнимым?

Answer 1

$z=(cos\pi a - isin\pi a)^8=(cos(-\pi a) + isin(-\pi a))^8=(e^{-i\pi a})^8=e^{-8i\pi a}=(cos(-8\pi a) + isin(-8\pi a))\\ 1) sin(-8\pi a)=0=>-8\pi a = \pi n=>a=-\dfrac{n}{8},n\in Z\\ 2)cos(-8\pi a)=0=>-8\pi a=\dfrac{\pi}{2}+\pi n=>a=-\dfrac{1}{16}-\dfrac{ n}{8},n\in Z$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу Эйлера для представления комплексных чисел:

e^(iθ) = cosθ + isinθ.

В данном случае, мы имеем:

z = (cos(πα) - isin(πα))^8.

1. Действительное число: Чтобы число z было действительным, мнимая часть должна быть равна нулю. В формуле Эйлера видно, что мнимая часть равна sin(πα). Таким образом, мы должны решить уравнение:

sin(πα) = 0.

Это уравнение имеет бесконечное количество решений. Одно из возможных решений — α = 0. В этом случае, cos(πα) = cos(0) = 1, и z = (1 - i0)^8 = 1^8 = 1.

2. Чисто мнимое число: Чтобы число z было чисто мнимым, действительная часть должна быть равна нулю. В формуле Эйлера видно, что действительная часть равна cos(πα). Таким образом, мы должны решить уравнение:

cos(πα) = 0.

Это уравнение имеет несколько решений. Одно из возможных решений — α = 0.5. В этом случае, cos(πα) = cos(π/2) = 0, и z = (0 - i*sin(π/2))^8 = (-i)^8 = 1.

Таким образом, при α = 0 число z будет действительным, а при α = 0.5 число z будет чисто мнимым.