Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ: определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение (xy+y²)dx-x²dy=0

Answer 1

Перепишем диф. уравнение в следующем виде

$xy+y^2-x^2y'=0$

Тип: линейное однородное дифференциальное уравнение.

Пусть $y=ux$, тогда $y'=u'x+u$. Получаем:

$ux^2+u^2x^2-x^2(u'x+u)=0\\ x=0;\\ \\ u+u^2-u'x-u=0\\ \\ u'x=u^2$

Свели к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u^2}=\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ -\dfrac{1}{u}=\ln |x| +C\\ \\ u=-\dfrac{1}{\ln |x|+C}\\ \\ \dfrac{y}{x}=-\dfrac{1}{\ln |x|+C}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{y=-\dfrac{x}{\ln |x|+C}}$

Общее решение: $y=-\dfrac{x}{\ln|x|+C}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение называется уравнением Бернулли. Для решения этого типа уравнения можно воспользоваться заменой переменной. Проведем необходимые шаги:

1. Разделим обе части уравнения на dx: (xy + y²) - x²(dy/dx) = 0

2. Перенесем члены, содержащие dy/dx, на одну сторону: (xy + y²) = x²(dy/dx)

3. Разделим обе части уравнения на (xy + y²): 1 = (x²(dy/dx))/(xy + y²)

4. Введем новую переменную замены: u = y/x. Тогда dy/dx = u'x + u.

5. Подставим полученные значения в уравнение: 1 = (x²(u'x + u))/(x(u + u²))

6. Упростим уравнение: 1 = (x(u' + u))/(u(u + 1))

7. Разделим обе части уравнения на x: 1/x = (u' + u)/(u(u + 1))

8. Вынесем u' налево: u' + u = (u(u + 1))/x

9. Разделим обе части уравнения на (u(u + 1)): (u' + u)/(u(u + 1)) = 1/x

Теперь полученное уравнение можно решить с помощью метода разделения переменных или других методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.