Question

Даю 40 баллов Найти общее решение дифференциального уравнения Ι порядка: 1) x²dy − y²dx = 0 2) dy +x dx=2dx 3) (y+1)dx=(x-1)dy 4) xᵌdy=yᵌdx Подробное решение, не просто 1)= столько-то. Нужно нормальное решение

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Конечно, я предоставлю подробные решения для каждого из данных дифференциальных уравнений.

1. x²dy - y²dx = 0

Чтобы решить это дифференциальное уравнение, мы сначала выразим dy и dx:

x²dy = y²dx

(dy/dx) = (y²/x²)

Теперь мы можем разделить переменные, переместив y² на левую сторону и x² на правую сторону:

(dy/y²) = (dx/x²)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y²) dy = ∫(1/x²) dx

Интегрируя каждую сторону, получим:

-1/y = -1/x + C₁

где C₁ - это произвольная постоянная.

Теперь найдем выражение для y:

1/y = 1/x + C₁

y = 1/(1/x + C₁)

y = x/(1 + C₁x)

2. dy + x dx = 2 dx

Сначала выразим dy и dx:

dy = 2 dx - x dx

dy = (2 - x) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫dy = ∫(2 - x) dx

y = 2x - (x²/2) + C₂

где C₂ - это произвольная постоянная.

3. (y + 1) dx = (x - 1) dy

Сначала выразим dy и dx:

dy = ((y + 1)/(x - 1)) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫dy = ∫((y + 1)/(x - 1)) dx

y = ∫((y + 1)/(x - 1)) dx

Для интегрирования правой стороны уравнения, можно воспользоваться методом подстановки. Пусть u = x - 1, тогда du = dx. Теперь уравнение станет:

y = ∫((u + 1)/u) du

y = ∫(1 + 1/u) du

y = u + ln|u| + C₃

Теперь подставим обратно u = x - 1:

y = (x - 1) + ln|x - 1| + C₃

где C₃ - это произвольная постоянная.

4. x³dy = y³dx

Выразим dy и dx:

dy = (y³/x³) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y³) dy = ∫(1/x³) dx

Для интегрирования левой стороны уравнения, мы можем возвести y в -3 степень и умножить на -1/3:

(-1/3)∫(1/y³) d(y³) = (-1/3)∫(1/x³) dx

(-1/3)∫y^(-3) d(y³) = (-1/3)∫x^(-3) dx

(-1/3)∫(d(y³)/y³) = (-1/3)∫(d(x^(-3))/x^(-3))

Интегрируя обе стороны, получаем:

(1/3y²) = (1/3x²) + C₄

y² = x² + C₄

y = ±√(x² + C₄)

где C₄ - это произвольная постоянная.