Question

1. y²dx = (1 + x²) dy 2. y²dx + (x-2)dy=0 3. (1+y)dx=(x-1)dy Помогите решить

Answer 1

Ответ:

$1 ){y}^{2} dx = (1 + {x}^{2} )dy \\ \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = \int\limits \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} = arctg(x) + C \\ - \frac{1}{y} = arctg(x) + C \\ \frac{1}{y} = - arctg(x) + C$

$2) {y}^{2} dx + (x - 2)dy = 0 \\ (x - 2)dy = - {y}^{2} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = - \int\limits \frac{dx}{x - 2} \\ - \frac{1}{y} = - \int\limits \frac{d(x - 2)}{x - 2} \\ \frac{1}{y} = ln(x - 2) + C$

$3)(1 + y)dx = (x - 1)dy \\ \int\limits \frac{d(y + 1)}{y + 1} = \int\limits \frac{d(x - 1)}{x - 1} \\ ln(y + 1) = ln(x + 1) + ln(C) \\ ln(y + 1) = ln(C(x - 1)) \\ y + 1 = C(x - 1)$

Answer 2

Для решения данных дифференциальных уравнений, давайте рассмотрим их поочередно:

1. y²dx = (1 + x²)dy

Начнем с разделения переменных, чтобы выразить x и y:

y²dx = (1 + x²)dy

(1 + x²)dy - y²dx = 0

Теперь мы можем попробовать выразить y как функцию x:

dy/dx = y² / (1 + x²)

Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которое можно решить с помощью метода разделения переменных:

(dy / y²) = (dx / (1 + x²))

Интегрируем обе стороны:

∫(1/y²) dy = ∫(1 / (1 + x²)) dx

Интегралы:

-1/y = arctan(x) + C₁

Теперь найдем y:

y = -1 / (arctan(x) + C₁)

где C₁ - произвольная постоянная.

2. y²dx + (x-2)dy = 0

Попробуем разделить переменные, чтобы выразить x и y:

y²dx + (x - 2)dy = 0

y²dx = (2 - x)dy

(2 - x)dy = -y²dx

Теперь выразим x и y:

dy / y² = -dx / (2 - x)

Интегрируем обе стороны:

∫(1/y²) dy = ∫(-1 / (2 - x)) dx

Интегралы:

-1/y = ln|2 - x| + C₂

Теперь найдем y:

y = -1 / (ln|2 - x| + C₂)

где C₂ - произвольная постоянная.

3. (1+y)dx = (x-1)dy

Попробуем разделить переменные, чтобы выразить x и y:

(1+y)dx = (x-1)dy

dx / dy = (x-1) / (1+y)

Теперь выразим x и y:

(dx / dy) = (x-1) / (1+y)

Теперь давайте решим это дифференциальное уравнение. Это уравнение можно решить методом разделения переменных:

(dx / (x-1)) = (dy / (1+y))

Интегрируем обе стороны:

∫(1 / (x-1)) dx = ∫(1 / (1+y)) dy

Интегралы:

ln|x-1| = ln|1+y| + C₃

Теперь найдем y:

x - 1 = k(1 + y)

где k = ±e^C₃ - произвольная постоянная.

Таким образом, вы решели все три данных дифференциальных уравнения и получили общие решения для каждого из них.